Мазмұны
Кіріспе ..........................3
Негізгі бөлім.............................5
1. Фурье интегралы.................5
1.1 Фурье түрлендіруі...............9
1.2 Фурье интегралының комплекс түрі....................13
1.3 Функцияны Фурье интегралымен жазып көрсету..........14
2. Фурье қатарының шектік жағдайы.........15
2.1 Фурье формуласының әр қилы түрлері...............19
2.2 Периоды 2( функцияның Фурье қатары...................21
2.3. Жұп және тақ функциялардың Фурье қатары............25
Қорытынды.............................27
Пайдаланылған әдебиеттер..............28
Кіріспе
Қазақстан Республикасының білім беруді жетілдірудің басты міндеті – білім
Қазіргі таңда фундаментальді ғылыми пәндер бойынша бағыттағы білікті
Табиғаттану ғылымдарымен техникада математика баяндалуы периодты функциялармен өрнектелетін алуан
Фурье қатарлары теориясының математиканың қолданылуында айта қалғандай маңыздылығы ескеріліп,
Фурье, Эйлер сияқты, мүшелеп интегралдауды қолданып функцияның тригонометриялық жіктеу
Бірқатар жағдайларда Фурье құрған жіктеулердің сәйкес функцияларға жинақталатынын тікелей
Шынын айтқанда, Фурье өз шығармасының аяқ жағында функцияның тригонометриялық
Фурье айтқан ұйғарымның бірінші болып шын мәніндегі мүлтіксіз дәлелдемесін
Функцияның тригонометриялық жіктеуінің бірден-бірлігі жөніндегі мәселе туды: өйткені осындай
f(x) функциясының бірден-бір жіктеуінің коэффициенттері қандай болмақ? Олар қашан
Енді тағы бір мәселеге тоқтап өтейік. Дирихле периды 2π
Курстық жұмыстың мақсаты Жалпы білім беру курсында Фурье интегралы
Осы мақсатқа сәйкес курстық жұмысты орындауда мынадай міндеттер қойылды:
Фурье интегралы
Фурье түрлендіру
Фурье қатарының шектік жағдайы
Зерттеу пәні Жалпы білім беру курсында Фурье интегралымен, қатарының
Курстық жұмыстың құрылымы кіріспеде зерттеу мәселесі, нысаны, зерттеу мақсаты,
1 Фурье интегралы
1. Егер функция f(x) сегментінде берілсе
немесе
функцияны периодты етіп жалғастырмай-ақ, -ді шексіздікке ұмтылып
Берілген функцияның әрбір шектеулі аралықта абсалют
мұнда к- тұрақты сан.
Егер х - үзіліс нүктелерін сипаттайтын болса, онда
Жоғарыда қойылған сұраққа келесі теорема жауап болып табылады.
Теорема Егер функцияның әрбі шектеулі аралықта
(1)
орындалады.
Осы тұжырымдалған теореманы Фурье теоремасы деп, ал (1) теңдіктің
(1) формуланың дұрыстығын дәлелдеу үшін, келесі теңдіктің
дұрыстығын дәлелдеу керек.
Кейінгі теңдіктің сол жағындағы интегралды арқылы
(2)
функция абсалют интегралданатын болғандықтан мына меншіксіз интеграл
(3)
α-ның барлық мәндерінде де бірқалыпты жинақты болады. Сондықтан (3)
.
Енді осы кейінгі теңдіктің оң жағындағы қайталама интегралдың ішкі
Бұл теңдіктің оң жағында тұрған бірінші интегралдағы (t-x)-тың орнынан
(4)
Енді біз мына теңдіктердің
(5)
дұрыстығын дәлелдейік.
- алдын-ала берілген оң құнарсыз аз сан болсын. Егер
(6)
Енді төмендегі теңдікті
(7)
пайдаланамыз. Екінші жағынан
(7)
Енді λ-ны шексіздікке ұмтылтып, (7) теңдіктің екі жағынан шек
(5) және (6) қатыстарды еске алып табамыз:
(8)
Дәл осы сияқты
(9)
(4) теңдіктің екі жағынан шек алып табамыз:
сонымен теорема дәлелденді.
2 Функция f (x) жұп болсын. Сонда
ішкі интегралды жеке алайық:
Бұл теңдіктің оң жағында тұрған бірінші интегралдағы t-нің орнына
Ал
Сонымен, жұп функция үшін
Егер f(x) – тақ болса, онда
Егер функция f(x) тек (0,∞) аралықта ғана анықталса,
1.1 Фурье түрлендіруі
Біздің ұйғарым жасағанда Фурье формуласы (10) х-тің барлық мәндері
(13)
f(x) функциясының бірінші формуласы бойынша салыстырылатын F(z) функциясы оның
Мына теңдікті
(f(x) функциясы берілген) интеграл астындағы белгісіз F(z) функциясына
бұл теңдіктердің рольдерін алмастыруға болатыны түсінікті.
Енді (11) формулаға қайта оралайық. Ол х-тің барлық оң
(14)
Тап осылайша (12) формула да екі формулаға ажыратылады:
(15)
Fc(z) және Fs(z) функциялары сәйкес түрінде Фурьенің f(x) функциясы
F, Fc ,Fs функцияларын салыстырып былай деуге болады.
F(z)=Fc(z)
(z0 болғанда, 4- теорема бойынша [n0
(3)
Егер f(u) функциясы [-B,B] аралықта үздіксіз болса, айтылған теоремадан
Алайда интеграл
(4)
Ұйғару бойынша жинақталатын
интегралымен мажоранттанады, олай болса z-ке қатысты алғанда оның мәндерінің
В→+∞ жағдайда өзінің (4) шегіне бір қалыпты ұмтылады.
Бұл Дирихле интегралына ұқсас [n0 399] және шынында да,
(5)
Баяндау жолын әрі қарай жалғастыра түсу үшін n0 400-тегі
g(x) функцияcы [а,+∞] аралықтың әрбір шектеулі бөлігінде үзінді-үздіксіз болып
болады, тап солай
Шынында да, кез келген сан алып,
орындалатындай етіп біз алдымен А-ны соншалықты үлкен етіп аламыз,
n0 400 лемманы тікелей қолданамыз сонда жеткілікті үлкен
болады, р-нің сол мәндері үшін
орындалатыны айқын, дәлелдемекшіміз де осы болатын.
2.1 Фурье формуласының әр қилы түрлері
Фурье формуласының жоғарыда көрсетіп өтілген қолданылу шарттары орындалады деп
қанағаттандырады деп есептейміз. Сонда қалай да мынау шығады:
Ішкі интеграл z-тің жұп функциясы болып табылатын себепті, бұл
(8)
Енді n0 410-та f(x) функциясы жөнінде жасалған жалпы ұйғарымдардан
(9)
болатынын көрсеу оңай. Бұл интеграл, мұнымен бірге z-тің үздіксіз
Жалпы алғанда, бұл функция үшін -∞-тен +∞-ке дейінгі меншікті
Қандай да ψ(х) функциясы үшін -∞-тен +∞-ке дейінгі интеграл
M мен N тәуелсіз түрде шексіздікке ұмтылғанда болмаса,
V.p.
Егер интеграл меншікті емес интегралдың кәдімгі анықтамасына сәйкес түрде
z-тің (9) функциясы тақ болатын себепті,
және М→∞ жағдайда шекте бұл жолы да ноль шығады.
V.p.
Осы теңдікті -ге көбейтіп және (8) бен
(10)
мұндағы сыртқы интеграл бас мән деп түсініледі. Формуланы бұл
(7) формулаға қайта оралып, оны мына түрде жазамыз:
Енді біз тек косинустар ғана енетін ықшам формуланы шығарып
(11)
Осыған ұқсас f(x) функциясы тақ болғанда тек синустар ғана
(12)
Енді f(x) функциясы тек [0,+∞] аралықта ғана берілген болсын
f(-x)=f(x) немесе f(-x)=-f(x) теңдіктер көмегімен (-∞,0) аралықта таратып
Егер х=0 нүктесінде f(x) функциясын үздіксіз деп алатын болсақ,
2.2 Периоды 2( функцияның Фурье қатары
[-(, (] кесіндісінде анықталған Т ( 2( болатын
(1)
болсын. Енді осы қатардың коэффициенттерін табу формуласын қорытайық.
(1) қатар бір қалыпты жинақталады деп жорылғандықтан, оны мүшелеп
(2)
Сондай - ақ пен
және
Демек, (2) теңдіктен
(4)
болып анықталады. Ал қалған коэффициенттерін анықтау
(5)
теңдігі орындалады, өйткені (5) қатар [-(, (] аралығында бір
(6)
(7)
теңсіздігі орындалады деген бекітім болып табылады. Сонда:
(8)
болады, дәлелдеу керегі осы еді.
Осы (12) қатарды -(-ден (-ге дейін интегралдасақ,
теңдігі орындалып, тригонометриялық функциялардың негізгі системасының [-(, (] аралығында
(9)
болып анықталады.
Сондай – ақ, (8) қатардың екі жағын
(10)
болып анықталады.
Периоды - ге тең функциясының (8)
Ескертпе Интегралданатын периодты функцияның интералының қасиетіне (30) сәйкес керек
Формулалары бойынша табуға болатыны айқын.
Бұл формулалардан шығатын маңызды тағы бір қорытынды сол, периоды
«Жіктеу болады» дегенді тек берілген
(12)
Ал бұл жазылыс (20) формуланың оң жағындағы қатардың бір
Ескертпе Периоды болатын әрбір үзіліссіз
Шынында, қарсы жорып, үзіліссіз периоды -
(14)
Сонда функциясы периоды
Бұл функциясына сәйкес келетін Фурье қатарының
Ал егер периоды болатын функциялар
Мұндай функциялар эквивалентті деп аталады.
2.3 Жұп және тақ функциялардың Фурье қатары
Теорема периодты функциясы
1) егер - жұп функция болса,
,
(1)
түрінде болады.
2) егер - тақ функция болса,
(2)
түрінде жазылады.
Егер жұп функциялардың көбейтіндісі де, екі тақ функциялардың көбейтіндісі
(1) пен (2) теңдіктерді функцияның сәйкес, косинус және синус
Егер функциясы тек
а) функциясын кесіндісінде
б) функциясын кесіндісінде
Мысал кесіндісінде функциясы
а) косинустар бойынша,
б) синустар бойыгнша.
а) (1) бойынша, .
Ал егер болса, онда
Алынған коэффициенттерді (1) қатарға қойсақ
б) Енді функцияны синустар бойынша жіктейік
Қорытынды
Бұл жерде тригонометриялық қатарлар теориясының анализ тарихында алатын ерекше
Ең алдымен, бұл теориямен функция ұғымының өзі тығыз байланысты.
Фурье қатарларының теориясының қажеттігімен байланысты, Риман анықталған интеграл ұғымын
Тригонометриялық қатарлар математикалық физикада тікелей қолданылып жүр және де
Табиғаттану ғылымдары мен техникада математикаша баяндалуы периодты функциялармен өрнектелетін
Пайдаланылған әдебиеттер
1. Жәутіков О.А. Математикалық анализ курсы. – Алматы. Мектеп,
Ибрашев Х.И., Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық анализ курсы. –Алматы, Мектеп,1958,
Фихтенгольц Г.М. Математикалық анализ негіздері. – Алматы, Мектеп, 1972,
Бұлабаев Т., Матақаева Ғ., Математикалық талдау негіздері. /Оқу құралы.
Айдос Е. Жоғары математика. Т.2.-Алматы. Бастау, 2008, 256 бет
29