Дипломдық жұмыс 3 тарудан жалпы алғанда 52 беттен
Дипломдық жұмыста реттік статистикалардың қолданылымдары, үлестірімдері және үлестірімдерін
Дипломдық жұмыстың мақсаты – реттік статистикалардың үлестірімдерімен, қолданылымдарымен
Мазмұны
Кіріспе..............................................................................................................................4
І Тарау
§1.Реттік статистика.....................................................................................................5
1.1Реттік статистика ұғымы............................................................................................5
1.2Материал қамту кеңдігі..............................................................................................7
1.3Белгілеулер..................................................................................................................9
II Тарау
§2.Реттік статистикалардың үлестірім теориясының негіздері.........................13
2.1Реттік статистикалар үлестірімі..............................................................................13
2.2Реттік статистикалардың екі немесе одан көп сандардың ортақ
2.3Құлаштың және басқа жүйелі статистикалардың үлестірімдері.........................17
2.4Дискретті үлестірім үшін реттік статистикалар....................................................20
2.5Квантиль үшін параметрсіз сенімділік интервалдар.............................................21
2.6Толерантты параметрсіз интервалдар....................................................................25
2.7Тәуелсіздікпен байланысты нәтижелер – Марков тізбесі секілді реттік
ІІІ Тарау
§3Реттік статистикалардың моменттері.................................................................32
3.1Негізгі формулалар...................................................................................................32
3.2Қалыпты үлестірім...................................................................................................39
3.3Дискретті жағдай......................................................................................................44
3.4.Рекурренттік қатынастар........................................................................................47
Қорытынды..................................................................................................................51
Қолданылған әдебиеттер тізімі..................................................................................52
Кіріспе
Дипломдық жұмыстың мақсаты – реттік статистикалардың үлестірімдерімен, қолданылымдарымен
Бұл дипломдық жұмыста реттік статистикалардың қолданылымдары, үлестірімдері және
Бұл жұмыста біз реттік статистикаларға байланысты есептерді көптеген
Алғашқы параграфта реттік статистика пәні ұғымы енгізіліп, оның
Екінші тарауда реттік статистикалардың үлестірімдері, дискретті жағдай
Үшінші тарауда біз реттік статистикалардың әр түрлі
І Тарау
§1.Реттік статистика
1.1 Реттік статистика ұғымы
Егер , кездейсоқ шамалары мағыналары бойынша
өсу ретімен орналасса, онда – ді
Реттік статистика пәні осы реттелген кездейсоқ шамалардың
Қалыпты жағдайда лайықты k таңдауында нәтижелілік жоғалтуы лақтыруларға
§1.2 Материал қамту кеңдігі
Жоғарыда айтылған барлық сұрақтарға көңіл бөлсек те, реттік
Қалған шектеулер кітапта көбінесе жеке мінезде болады. Реттік
9 тарауға қарағанда көбірек жасалған асимптоталық әдістер туралы
Реттік статистикалардың техникасын нәтижелі пайдалану көп таблицаларды талап
§1.3Белгілеулер
Бұл параграф сілтемелер үшін қызмет етсе де, оқырман
Х1, Х2,..., Хn – ретсіз шамалар;
х1, х2,..., хn – ретсіз бақылаулар;
{ – реттелген шамалар;
– реттелген шамалар- жазудың толық түрі.
Таңдама көлемін көрсету үшін, нақты қысқа үлгіден жеткілікті
Р(х) = Р(Х ≤ х) – Х кездейсоқ
Р(х):
1) үзіліссіз кездейсоқ шама үшін үлестірім тығыздығы;
2) дискретті кездейсоқ шама үшін ықтималдық функциясы;
Fr(x), Fr:n(x) – Xr, Xr:n, r = 1,2,…,n
fr(x), fr:n(x) – xr, xr:n кездейсоқ шамасының ықтималдық
Frs(x,y) = P( X(r)≤x, X(s)≤y ) – және
f rs(x,y) - X(r) және X(s)
ξp – үлестірім үшін p ретінің квантилі, яғни
ξ1/2 – үлестірім медианасы;
X([np]+1) – p ретінің таңдамалы квантилі, бұл жерде
X([nλl]+1 – λl ретінің таңдамалы квантилі, 0 r) шарты бойынша алынған X(s) шамасының
(s – r) – ші реттік статистиканың үлестірімімен
(2.7.4) – тен
(2.7.5)
(r = 1, 2, … , n; U(n+1)
- өзара тәуелсіз R(0,1) теңөлшемді шамалар екендігі шығады.
Тәуелсіздікпен байланысты, басқа нәтижелер тобын қалыпты үлестірім үшін
(j = 1, 2, …, n) түрінде жазуға
Характеризация. (2.7.2) – дегі Yr (r = 1,
Реттік статистикалардың қасиеттерімен әр түрлі үлестірімдердің характеризациясын талдау
EX(n) = EY(n) табылады.
ІІІ тарау
§3.Реттік статистикалардың моменттері
3.1 Негізгі формулалар
Бұл тарауда біз статистиканың моменттерін, көбіне математикалық күтім,
Реттік статистикада қарастырылып жатқан математикалық күтім, дисперсия және
Кейде бізге белгілеулерде таңдама көлемін белгілеп қойған ыңғайлы.
Μr:n =
0 ≤ P(x) ≤1 болғандықтан, | Μr:n| ≤n
Μr:n =
мұндағы - P(x) – қа
EX =
орташасы u = 0 немесе 1 нүктелерінде
Осы секілді E[g(X)] – ң бар болуынан, E[g(Xr:n)]
(3.1.2)
Осы секілді туындатқыш моменттерді анықтауға болады:
(3.1.3)
және ковариациясын осыған лайық мына
(3.1.4)
Әдеттегідей, және
және r < s үшін
,
мұндағы – ортақ үлестірім
Мысал 3.1.1.
(0, 1) – де анықталған теңөлшемді р(х) үлестірім
Ықтималдықты интегралды өзгеру(ауысу) күшінен реттік статистикалар әрқайсысының математикалық
Туындатқыш моменттерді есептеудің жалпы әдістемесін 4 айнымалы жағдайында
x
x
r < s < t < u
, , ,
Тұрақтыны C әрпімен белгілеп, якобиан
x
x
Бұл теңдік, басқаларға қарағанда, Yi шамалары және де
x
x
реттік статистикалары үшін жалпы жағдайда нәтиже мына түрде
(3.1.6)
Демек, дей отырып,
(3.1.7)
және
.
Экспоненциалды үлестірім тығыздығы үшін анық лайықты формулаларды алуға
(3.1.8)
(3.1.9)
N(0, 1) қалыпты үлестірім үшін орташалар жеткілікті толық
Реттік статистикалардың сызықты функцияларының арасында ерекше назар аудартатын
мына теңдіктер
әділ болады.
Мысал 3.1.2.
(0, 1) – де теңөлшемді үлестірім үшін (3.1.7)
.
Тексеру үшін, (2.3.4) – тен r =
,
шығатыны және ло мынаны
беретінін байқаймыз.
үшін басқа теңдікті бөліктеп интегралдау арқылы алуға болады:
Қайтадан байқайтынымыз, кез – келген Р(х) үлестірім функциясы
сол себепті
(3.1.10)
Егер бұл формулада P(x) – ті Fr(x)
(3.1.11)
Сонымен қатар мынаны аламыз:
және егер р(х) х 0 –
.
Есептеуді тексерудің маңызды жалпы әдістерін мына теңдіктің көмегімен
,
Мұнда сол жақ бөлігіндегі қосындылар оң жақ бөлігіндегі
,
,
(3.1.15)
және (3.1.14) – ті (3.1.15) – ке қойсақ,
(3.1.16)
Мына теңдіктің
екі жағын квадраттасақ,
(3.1.17)
теңдігін аламыз.
Олардың үзіліссіз және дискретті үлестірім үшін дұрыс екені
3.2 Қалыпты үлестірім
§3.1 – де аталған Тейкроу(1956) таблицалары, n ≤
деп болжаймыз.
(3.1.13) – (3.1.17) жалпы қатынастарына толықтыру ретінде μ
δ2 = 1 болғандағы жағдайды аламыз, симметриялы үлестірім
(3.2.1)
Ол мына қатынаспен тепе – тең:
Дәлелдеуі. және
E(
немесе
қойып, (3.2.1) – ді аламыз.►
жай моменттер және реттік статистикалардың туындалған моменттерін қарапайым
,
сол себепті
Онда интеграл астында х – тан тақ функция
болады. Сондықтан
,
Дербес жағдайда
және
(3.2.2) – ні а бойынша диферренциалдасақ, n үшін
Бөліктеп интегралдаудың көмегімен мына теңдікті аламыз:
Сондықтан
Осы теңдіктің көмегімен реттік статистикалардың моменттерін есептеуге болады.
Осыған сәйкес
Осы секілді алатынымыз:
.
Туындалған моменттерге де қолданылатын бұл жалпы әдіс мына
көмегімен барлық интеграл теңдіктеріне жинақталады, мұндағы Q –
мұнда △ = abc + fgh –
Мысал 3.2.1.
Жоғарыда сипатталған процедура көрсетілген қадамдарды
Алатынымыз:
Осы теңдікті (А) – ға қойып және интегралдау
Ішкі интеграл мынаған тең:
Енді
есептеу керек және
қойып, 3 еселі интеграл мына түрге келеді:
.
Соңында алатынымыз:
Сипатталған әдістердің көмегімен n≤5 үшін қарапайым функциялардың барлық
Рубен қиын болса да, тапқыр әдісті көрсетті. Оның
түрдегі интеграл арқылы шығарды. Реттік статистикалардың жеке моменттері
3.3 Дискретті жағдай
дискретті үлестірімі үшін k –
мұндағы (2.4.1) –
қойып, моменттердің туындатқыш функцияларын анықтаймыз:
(3.3.1)
үшін – тен алынған
екені анық.
Егер X – та k – шы факторлы
(3.3.2)
үшін
(3.3.3)
екені Феллерде дәлелденген, мұнда k – қысқа дифференциалдау
Егер бар болса, онда (3.3.2) –
(3.3.4)
Дербес жағдайда
Бұл жерден Х дисперсиясы үшін теңдік шығады:
моменттері үшін бұл нәтижелерді пайдалану үшін тек P(x)
(3.3.5)
.
Дербес жағдайда, (3.3.5) – тен экстремумды моменттерді аламыз:
және де
,
бұл үзіліссіз үлестірім үшін ұқсас
Бұл формулалар болымды үзіліссіз шамалар үшін сәйкес нәтижелердің
=
қоямыз. Онда
Сәйкесінше
(2.4.5) – тен алатынымыз:
(3.3.6)
мұнда интегралдау болатын
Екі биномиальды шамалардың кішісінің математикалық күтімі және дисперсиясы
§3.4. Рекурренттік қатынастар
Көптеген авторлар бастысы қажет(талап етілген) моменттерді есептеуде тәуелсіз
I – қатынас.
Туындатқыш үлестірім үшін алатынымыз:
мұнда r = 1, 2,…n – 1,
Бұл нәтиже үзіліссіз жағдай үшін Коул(1951) бойынша және
(3.4.1)
(3.4.2)
мұндағы
△
Толық емес – функция үшін
қойып, мынаны аламыз:
Осы жерден бірден I – қатынас шығады.
Салдар 1А. Жұп үшін алатынымыз:
I–қатынас–қа r = n/2 қоямыз.
k = 1 қойып, n(n – жұп) және
Салдар 1В. 0 –ге қатысты симметриялы үлестірім және
Дәлелдеуі.
1А салдарына мына теңдікті қоямыз:
.
Ескерту. I – қатынастың дәлелдеуі тек толымсыз В
.
Осындай әдіспен моменттердің маңыздырақ жағдайы үшін тағы тұжырымдалатын
II – қатынас.
Туындатқыш үлестірім үшін
(3.4.3)
теңдігі орындалады. Осылай моменттері r,
Дәлелдеуі:
- ді мына теңдікте
жіктейміз. Онда оң жағындағы интеграл астындағы теңдік мына
i=j+r қойып, соңғы теңдікті аламыз:
Бұл теңдікті (3.4.1) және (3.4.2) – ге қойып,
үшін лайық нәтиже мына түрде болады:
III – қатынас Туындатқыш үлестірім үшін жағдайында
Дәлелдеуі.
x
x
формуласында интегралды
ыдырауына сай біртипті интегралға бөлеміз.
Осы жерден III – қатынас шығады.
(3.3.6) көмегімен бұл пікір дискретті жағдай үшін де
Қорытынды
Бұл дипломдық жұмыста реттік статистика ұғымы, қолданылымдары, реттік
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
Г. Дэйвид. Порядковые статистик, - М.:Наука,.1979-(9-56 с.).
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее
Сархан и Гринберг. Введение а теорию порядковых статистик,
Уилкс С. Математическая статистика, - М:Наука,.1967-.
Крамер. Математические методы статистики, - М:Мир,.1975-.
Карлин. Основы теории случайных процессов, -
М:Мир,.1971-
56