Жоспары:
І. Кіріспе
ІІ. Негізгі бөлім
Анықталмаған интеграл анықтамасы
Анықталмаған интегралдың қасиеттері
Анықталған интеграл анықтамасы
Анықталған интегралдың қасиеттері
Анықталған интегралды қолданып жазық фигураның ауданын табу
Негізгі интегралдар кестесі
ІІІ. Қорытынды.
ІV. Пайдаланылған әдебиеттер.
Кіріспе
Функцияның туындысы берілсе, осы функцияның өзін қалай табуға болады?
Анықтама. Егер Ғ(х) функциясы ∆ аралығында дифференциалданса және
Ғꞌ(х) = f(x), Vx
Теңдігі орындалса, онда Ғ(х) функциясы f(x) функциясының ∆ аралығындағы
Мысалы, f(x) = 1/2√x
Негізгі бөлім
Анықталмаған интеграл анықтамасы
f(x) = 2cos2x функциясының ∆ = (-∞, +∞) аралығындағы
Егер f(x) функциясының ∆ аралығындағы алғашқы функциясы F(x) болса,
Екінші жағынан, егер f(x) функциясының ∆ аралығындағы алғашқы
Анықтама. f функциясының ∆ аралығындағы барлық алғашқы
Егер, f(x) функциясының қандай да бір алғашқы функциясы F(x)
∫ f(x)dx = F(x) + C, C R
Әрине, анықтама бойынша ∫ f(x)dx ={F(x) + C}
Ескерту. ∫ f(x)dx символы f функциясының алғашқы функцияларының
Интеграл астындағы f функциясының dx дифференциалына көбейтіліп жазылуынан
∫ x2 zdx = x3z/3 + C,
Оның басқа да ыңғайлы жақтары (интегралда айнымалы ауыстыру және
f(x) функциясының алғашқы функциясын табу амалын f(x) функциясын
Жоғарыда, егер f(x) үшін ∆ аралығында алғашқы функция бар
Кейінірек, егер f(x) функциясы (a,b) аралығында үзіліссіз немесе монотонды
Анықталмаған интегралдың қасиеттері
Анықталмаған интегралдың қасиеттерін қарастырайық.
Егер f(x) функциясының алғашқы функциясы F(x) болса, онда интеграл
∫ f(x)dx = Fꞌ(x)dx = dF(x)
алғашқы F(x) функциясының дифференциалы. Сондықтан, (1) теңдікті келесі түрде
∫ dF(x) = F(x) + C;
А) A* f(x)dx = A∫ f(x)dx + C, A
Б) ∫ [f(x) + g(x)]dx = ∫ f(x)dx +
Соңғы (Б) теңдік интегралдың аддитивтілік қасиеті деп аталады.
Мысалы, (Б) қасиетін көрсетейік.
[Ф1(х)]ꞌ = (∫f(x)dx+ ∫g(x)dx)ꞌ = (∫f(x)dx)ꞌ + (∫g(x)dx)ꞌ= /анықтама
= f(x) + g(x);
[Ф2(x)]ꞌ = (∫[f(x)+g(x)]dx)ꞌ = /анықтама бойынша/ = f(x) +
Сонымен Ф1(х) және Ф2(х) функциялары f(x) + g(x)
Ф1(х) - Ф2(х) = ∫[f(x)+g(x)]dx) - (∫f(x)dx + ∫g(x)dx)
Яғни (Б) теңдік орындалады. (А) теңдігі де осылай дәлелденеді.
Егер f(x) функциясының алғашқы функциясы F(x) болса, онда f(ax+b)
∫ f(ax+b)dx = 1/а Ғ(ax+b) + C.
Дифференциалдау формуласынан шығатын интегралдар кестесін келтірейік (теңдіктер бөлшектің бөліміндегі
∫0 dx=C
∫ xa dx=xα+1/α+1+C, Vα≠-1.
∫ x-1 dx=∫ dx/x=In|x|+C, Vx≠0.
∫ ax dx= ax /Ina+C, a›0, a≠1. Дербес
∫ sin xdx=cos x+C, ∫ cos xdx=sin x+C.
∫ dx/cos2 x=tg x+C; ∫ dx/ sin2 x=
∫ sh xdx=ch x, ∫ ch xdx=sh x+C,
∫ dx/ch2x=th x+C; ∫ dx/sh2x=cth x+C.
∫ dx/x2+a2=1/a arctg x/a+C.
∫ dx/x2-a2=1/aIn |x-a/x+a|+C, |x|≠|a|
∫ dx/ √a2-x2= arcsin x/a+C, |x|‹|a|
∫ dx/ √x2-a=In|x+√x2+a|+C, x2+a›0, a≠0.
∫ dx/sin x=In|tg x/2|+C.
∫ dx/cos x=In|tg (x/2+π/4)|+C.
Бұл теңдіктердің дұрыстығын дифференциалдау арқылы тексеруге болады. Мысалы, 3)
▼x≠0 үшін, |x|=x*sign x теңдігінен |x|ꞌ=(x*sign x)ꞌ=sign x аламыз.
Енді 12) формуланы дәлелдейік.
▼(In|x+√x2+a|+C)ꞌ=1/|x+√x2+a|*|x+√x2+a|ꞌ=1/|x+√x2+a|*sign (x+√x2+a)*(x+√x2+a)ꞌ=1/|x+√x2+a|*sign (x+√x2+a)*(1*x+√x2+a)= sign (x+√ x2+a)/(x+ √x2+a)*x+√x2+a/√x2+a=1/√x2+a.▲
Элементар функциялардың туындылары элементар функциялар болатыны белгілі. Ал элементар
Мысалы, келесі интеграл астындағы фунциялардың элементар функциялар еместігін дәлелденген:
∫e-x2dx – Пуассон интегралы;
∫cosx2dx, ∫sinx2dx – Френель интегралы;
∫dx/lnx – интегралдық логарифм;
∫(cosx/x)dx – интегралдық косинус;
∫(sinx/x)dx – интегралдық синус;
∫(ex/x)dx, ∫dx/√1+x3 т.с.с.
Бұл интегралдарды есептеу үшін, мысалы, интеграл астындағы функцияны дәрежелік
Анықталған интеграл
І – есеп. Х өсіндегі [a,b] кесіндісін – сызықтық
▼ а) стерьженді кез келген a = x0
б) Әрбір [xj,xj+1] бөліктен кез келген ξj нүктесін
в) Стерженнің массасының дәл мәнін, ұзындығы ең үлкен бөлікше
М = lim Σ ρ( ξj)∆xj, ∆xj = xj+1
Осы сияқты, қандай да бір дене f күшінің әсерінен
А = lim Σ f( ξj)∆xj
Тағы да басқа көптеген физикалық есептерді осы тәсілмен шешуге
Бұл есептер бізді [a,b] кесіндісінде берілген, тегі әртүрлі функцияларға
[a,b] кесіндісінде у = f(x) функциясы берілсін.
[a,b] кесіндісін кез келген a = x0 ‹ x1
Әрбір [xj,xj+1] бөліктен кез келген ξj [xj,xj+1]
SR(f) = Σ f( ξj)∆xj, ∆xj =
қосындыны құрамыз;
Max ∆xj → 0 ұмтылдырып, интегралдық қосыныдының шегіне өтеміз.
Егер бұл шек бар болса, онда ол f
a∫b f(x)dx = lim Σ f( ξj)∆xj, ∆xj, (a‹b)
түрінде белгіленеді. Мұндағы a мен b сандары – анықталған
Назар аударыңыз. Анықтамада айтылған, [a,b] кесіндісін бөліктеуді де, ξ
Жоғарыдағы анықтаманы үзіліссіз функциялар үшін француз математигі О.Л.Коши (1789-1857),
(2) шек Риман интегралы, ал f(x) функциясы Риман мағынасында
(1) – (2) теңдіктерден мынадай қорытынды жасауға болады:
Ох өсінің [a,b] кесіндісі бойымен орналасқан үлестіру тығыздығы ρ(х)
М = a∫b ρ(x)dx
Қандай да бір дене f күшінің әсерінен [a,b] аралығында
Анықталған интегралды оның анықтамасы арқылы есептеу оңай жұмыс емес.
a∫b f(x)dx = F(b) – F(a)
Жоғарыда ескерткеніміздей, [a,b] кесіндісінде үзіліссіз функцияның интегралданатын функция болатындығын
▼ Шынында да, бұл жағдайда [a,b] кесіндісінде кез келген
F(b) – F(a) = F(xn) – F(x0) = F(xn)
Кесіндісінде үзіліссіз Ғ(х) функциясына Лагранж теоремасын қолданамыз
| = Σ Fꞌ (ξk)(xk+1 - xk) = Σ
Мысалы, 1∫2(1/х) = ln2 - ln1 = ln2
Дәлелдеусіз келесі теореманы келтіреміз.
Теорема. [a,b] кесіндісінде шенелмеген функция осы кесіндіде (Риман
Ендеше, [a,b] кесіндісінде интегралданатын функция осы кесіндіде шенелген (А
Мысалы, ψ(х) =
функциясы кез келген [a,b] кесіндісінде шенелген: |ψ(х)| = 1.
Σ ψ(ξ)∆xj = Σ 1*∆ xj = b-a; ал
Сонымен, функция берілген кесіндіде Риман бойынша интегралдануы үшін оның
Анықталған интегралдардың қасиеттері.
1о. Егер Vx [a,b] , f(x) =
a∫bdx = b – a
Шынында да, [a,b] кесіндісінің кез келген R бөліктеуі
δR = Σ1*∆xj = Σ(xj+1 - xj) = (x1-x0)+(x2-x1)+…+(xn-xn-1)
2 о. Егер [a,b] кесіндісінде f және g интегралданатын
a∫b[A*f(x) + B*g(x)] dx = A a∫bf(x)dx + B
▼ Кез келген R бөліктеуі үшін
δR = Σ1*∆xj = Σ(xj+1 - xj) = (x1-x0)+(x2-x1)+…+(xn-xn-1)
теңдігі орындалады. Бұдан Max ∆xj → 0 ұмтылдырып,
Дербес жағдайда, В = 0 болса, онда
a∫bA*f(x)dx = А a∫b[f(x)dx,
ал A = 1, B = 1 болса, онда
a∫b[f(x) + g(x)] dx = a∫bf(x)dx +
Ескерту. Егер f(х),g(х) функциялары [a,b] кесіндісінде интегралданатын болса, онда
a∫bf(x)*g(x)dx ≠ a∫bf(x)dx* a∫bg(x)dx
Мысалы, f(x) = x, g(x) = x2, [a,b]
Анықтама бойынша а нүктесінде берілген кез келген f функциясы
a∫bf(x)dx = 0
ал [a,b] кесіндісінде интегралданатын f функциясы үшін
a∫bf(x)dx = - a∫bf(x)dx,
деп аламыз. Бұл теңдіктерді геометриялық тұрғыдан көру қиын емес.
3 о. (анықталған интегралдың аддитивтік қасиеті). Егер кез келген
a∫bf(x)dx = a∫сf(x)dx + с∫bf(x)dx
теңдігі орындалады.
▼1) a ‹ с ‹ b болсын. [a,b] кесіндісін
R: a=x0 ‹ x1 ‹ … ‹ xm =
Осы R бөліктеуінен [a,c] және [c,b] кесінділерінің
R1: a=x0 ‹ x1 ‹ … ‹ xm =
R2: c = xm ‹ xm+1 = ‹ …
Бөліктеулері пайда болады. Олай болса
δR = Σ f( ξj)∆xj = Σ f( ξj)∆xj
Бұдан lim δR =lim δR1+ lim δR2
3 о қасиеттің шарты бойынша бұл үш шектің үшеуі
2) a ‹ b ‹ c болсын. Онда
a,b,c нүктелерінің қалған жағдайлары да осы сияқты дәлелденеді.
Ескерту. 3 о қасиеттің орындалуы үшін f(х) функциясы [a,b],
Жазық фигураның ауданы
кесіндісінде үзіліссіз оң функция берілсін, яғни
,
сонда осы қисықтың графигімен, абсцисса осімен және екі бүйірінен
(21)
формуласымен табылады. Егер функция , яғни қисық
у
0
Егкр функциясы ауыспа таңбалы болса, онда
.
у
s1
0 a
s2
Егер фигура жоғарыдан y=f2(x) және төменнен y=f1(x) функцияларының
теңдігі арқылы табылады.
у
0
Мысалдар. 1. және абсцисса
y
0 2
; ; ;
кв. бірлік.
2. сызықтарымен қоршалған фигураның ауданын
Қисықтардың өзара қиылысу нүктелерін және олардың абсцисса осімен қиылысу
y
s1
0
s2
s3
y=-x
.
Ой толғау. Автор аспирантурада оқып жүрген кездері параллель қисықтар
Егер абсциссалары бірдей нүктелерге жүргізілген жанамалары параллель болса, онда
у
h
0 a
«Қисық сызықты» тік төртбұрыштың ауданын дәлелдеңдер:
S=h(b-a).
Параллель беттер ұғымын енгізуге бола ма (енгізіңдер ???).
Параметрлік теңдеулерімен берілген фигураның ауданы. Қисық параметрлік теңдеулерімен берілсін:
, және ((()=а, ((()=b.
- үзіліссіз функция, және оның туындысы
.
Мысал. эллипсімен шенелген
y
Эллипстің параметрлік теңдеуін аламыз:
t- бұрыш
мен -ның арасында өзгереді, онда
;
,
Sэлл=(ab.
Полярлық координаталарымен берілген фигураның ауданы. Полярлық координаталарымен берілген қисықты
теңдеулерімен берілген фигураның ауданын табалық.
Анықтама. ρ=ρ(φ) функциясы [φ1, φ2] аралығында үзіліссіз, әрі теріс
бұрышын бөлікке бөлеміз.
2
(1
Кез келген бұрышты - мен белгілейміз.
Анықтама. Полярлық радиустармен және қисығымен қоршалған
.
Бұл дөңгелек сектордың ауданын анықтайық:
.
(*) қосындысы интегралдық, өйткені ол төменнен және жоғарыдан Дарбу
.
Сонымен, фигураның ауданы мына формуламен табылады:
.
Мысалдар. 1. Полярлық координаталарымен берілген дөңгелектің ауданын табалық.
.
2. төрт жапырақты розамен
а
Жапырақтың жартысының ауданын табамыз, яғни төрт жапырақты розаның сегізден
,
.
Негізгі интегралдар кестесі
, k(-1;
;
;
;
;
;
;
; ;
Қорытынды:
Ғꞌ(х) = f(x), Vx
Теңдігі орындалса, онда Ғ(х) функциясы f(x) функциясының ∆ аралығындағы
f функциясының ∆ аралығындағы барлық алғашқы функцияларының жиынтығы
[a,b] кесіндісінде интегралданатын функция осы кесіндіде шенелген (А
Егер абсциссалары бірдей нүктелерге жүргізілген жанамалары параллель болса, онда
Пайдаланылған әдебиеттер
Е. Айдос – Жоғары математика. 2 бөлім. Алматы –
Е.Айдос – Жоғары математика. 3 бөлім. Алматы 2005 жыл
1
1, егер х рационал болса
-1, егер х иррационал болса
-
0