Тор құрудың әдістері

Жоспар
Кіріспе 3
1 Бір айнымалы функцияларды интерполяциялау 5
1.1 Бір айнымалы функцияны кубтық сплайнның көмегімен интерполяциялау
1.2 Тегістеу арқылы құрама-кубтық интерполяциялау 8
1.3 Тегіс толықтыру 11
1.4 Екі немесе бірнеше айнымалылар функциясын интерполяциялау 12
1.5 Көп айнымалылар функциясының r –
2 Есептік торлар құрудың әдістері 17
2.1 Алгебралық әдістер. Дифференциалдық теңдеулерді 19
шешуге негізделген әдістер 19
2.2 Бір байланысты аймақ 26
2.3 Көп байланысты аймақ 30
2.4 Көпбайланысты аймақ үшін эквиүлестіру әдісі 32
2.5 Дербес туындының теңдеуін шешу негізінде құрылатын торлар
2.6 Интегралдау аймағында тор құрудың әдістері 37
2.7 Бейімді торлар. Тор құрудың әдістері 39
3 Торларды құру 49
3.1 Кездейсоқ қисық сызықты координаталарда, ортогональ қисық сызықты
Қорытынды 60
Кіріспе
Физикалық процесстерді математикалық моделдегенде, шекаралары қисық сызықты болатын
Торда берілген функцияны барлық облыстарын үздіксіз функциялармен толықтыру
Сплайн интерполяция қисық сызықты торлы функцияны тегіс толықтыруды
Жалпы дискретті нүктелер жиынында берілген шаманы интерполяциялау мәселесі
1.
2. барлық қалған мәндер үшін
қосалқы функцияны (интерполяцияланған функцияны) жинақтау керек. Басты сұрақ
Сандық әдісте ең негізгі есептердің бірі – функцияны
кесіндісіне тор берілсін делік, оның тоғысында
Жоғарыда айтып кеткендей, соңғы жылдары интерполяция жаңа әдістермен
Негізгі мақсаты – қарастырылатын қисық сызықты облыстың шекарасынын
Жұмыстың міндеттері:
Бір айнымалы функцияларды интерполяциялау.
Есептік тор құру әдістері.
Тор салудың әдістерін қарастыру.
Бір байланысты аймақта тор құру.
Кездейсоқ қисық сызықты координаталарда, ортогональ қисық сызықты тор
Қисық сызықты облыстың аймағын интерполяциялау.
Жұмыстың құрылымында: кіріспе, негізгі бөлім, қорытынды бөлім, әдебиеттер
1 Бір айнымалы функцияларды интерполяциялау
1.1 Бір айнымалы функцияны кубтық сплайнның көмегімен интерполяциялау
нақты осінің кесіндісінде
С² класына жатады, яғни екінші ретке
Әрбір кесіндіде кубтық көпмүшелік
(1.1.1)
болып табылады.
{xn}k=0 тордың түйініде теңдік орындалады.
(1.1.2)
g´´(x) шекаралық шартты қанағаттандырады g´´(a)= g´´(b)=0
Алдағы уақытта анықталған функциясының жалғыз экстремальді
Интерполяцияланған құрама-кубтық функциясын табуға берілген есептің
функцияның екінші ретті туындысы әрбір тордың
(1.1.4)
деп жазамыз. Мұнда .
Теңдіктің екі бөлігін де екі рет интегралдасақ
(1.1.5)
аламыз, мұнда және интегралдау тұрақтылары.
аламыз.
Қорытындылай келе
(1.1.6)
(1.1.7)
(1.1.7) формуласынан туындының x1,x2,…,xn-1 нүктелерінде бір
g´´(x) және g´(x) функциясы үздіксіз шартына сәйкес
(1.1.8)
(1.1.3) шартынан осы теңдікті толықтыра отырып, белгісіз
Am=Hf
А квадратты матрица
(1.1.10)
түрде болады. m және f векторлары және
,
(1.1.11)
А матрицасы қатаң диагональдық басымдылықпен симметриялы. Гершгоринның өзіндік
Құрама-кубтық функциясы сплайн-интерполяциясының жоғары тиімділігін қамтамасыз ететіндіктен өте
, u(xk)=fk , k=0,1,…,n
(1.1.13)
Мұндай функционалдың минимумы жәнегі біз салған g(x) құрама-кубтық
(1.1.14) g мен функцияларының
Бірақ = Ck=const [xk-1,xk]
Осыдан және (1.1.14) формуласынан кез келген
(1.1.12), (1.1.13) формулаларына негізделе отырып, құрама-кубтық сплайн-функциясына: тор
Кубтық сплайн-функциясы жақсы жуықтау қасиетін иеленеді. Егер
(1.1.16)
теңсіздігі болғаны жөн, мұндағы -
1.2 Тегістеу арқылы құрама-кубтық интерполяциялау
Бұл бөлімде біз тағы да торда анықталған
Ізделінді тегістелген функциясы
(1.2.1)
функционалын минимизациялауын талап етеміз, мұнда - кейбір
(1.2.1) вариациялық есептердің шешімі кубтық сплайн болып табылатынын
(1.2.2)
Бірақ, алдыңғы бөлімшеде көрсетілгендей, интерполяциялау
Сонымен функционалының минимумын кубтық сплайн
- құрама-кубтық функция екенін білеміз, сонымен
, ,
(1.2.3)
Болғандықтан
(1.2.4)
(1.2.4) формулада интегралды туындай келе
(1.2.5)
аламыз.
Мұнда - белгілі матрица. Сонымен
(1.2.6)
1.1.9 нәтижесінде арқылы
Сондықтан (1.1.9) байланысты
(1.2.7)
Мұнда (1.1.11) формуласымен анықталады. Осыдан
(1.2.8)
1.2.7-нің сол жағын көбейте отырып,
(1.1.9) ескере отырып, түпкілікті
(1.2.9)
аламыз.
(1.2.9) жүйенің матрицасы бес диагональды, симметриялы және дұрыс
Кубтық сплайнмен тегістеу – тегістеудің жалғыз ғана әдісі
1.3 Тегіс толықтыру
Енді торлы функцияның тегіс толықтырудың басқа әдісін айтамыз,
(1.3.1)
Қанағаттандыратын, 2p+1 дәрежесінен жоғары емес
кесіндіде интерполяциялық функция
түрде жазылады. Олардың коэффициенттері
(1.3.2)
формуласы бойынша есептеледі.
Егер бастапқы үшін санауда нүктесін қабылдасақ,
Егер p=1 деп қойсақ (кубтық сплайн тегістеуіне сәйкес
Тегіс толықтыру жақсы жуықтама қасиеттерін иеленеді. Әсіресе,
(1.3.3)
теңсіздік болады, мұнда мультииндекс
-дан тәуелді және h тор қадамы мен f
Тегіс толықтыру тағы да бір қасиетті иеленеді. Егер
1.4 Екі немесе бірнеше айнымалылар функциясын интерполяциялау
Құрама-бикубтық функция көмегімен екі өлшемді интерполяциялау проблемасы көптеген
- жазықтығының кейбір тікбұрышы. ға
нүктесінде берілген, осындай құрама-бикубтық функциясының интерполяциялау есебінің болжамы
1)
2) торының әрбір ұяшығында бикубтық
(1.4.2)
3) торында берілген мәнді қабылдайды.
(1.4.3)
4) функциясы
Мұндай функцияны қалай құруға болады? Былайда, құру бір
Екінші ретті туындыны табу үшін бір рет үшөлшемді
Нақты формула бойынша екіөлшемді жағдайда кез келген нүктеде
Алдымен тор сызығындағы кубтық сплайн интерполяциямен
(1.1.6) сәйкес , нүктелерінде
,
(1.4.6)
табуға болады. Мұнда ары қарай ,
Егер және
белгілесек, онда
(1.4.7)
(1.4.8)
Тағы да 1.6 формуласын пайдаланып мәндерін
(1.4.9)
Жоғарыда айтылғандардың бәрін қорытындылай келе, бикубтық
1.5 Көп айнымалылар функциясының r –
Негізгі бөлімде ретсіз торда қатемен берілген көп айнымалылар
Әдетте берілген ашық көпмүшеден тыс
кубын ортасы арқылы белгілейміз, ал
немесе
қоюға болады. Енді әрбір i индекс мәні
қоямыз. функциясы
(1.5.1)
анықталатын функция - да
аламыз, яғни .
Енді функциясын толықтыру үшін бірлікті бөліктеуді
Жалғыз жеке жағдайда жуықтау қателігіне баға береміз:
1)
2) жағдайын қарастыру жеткілікті.
1-ші жағдайды қарастырайық. және
Осыдан Тейлор формуласы бойынша
аламыз. Осы теңдіктің оң жақ бөліктегі екінші қосынды
(1.5.2)
Ары қарай қосындыға
Абельдің түрлендіруін қолданып
аламыз.
Сондықтан
Мұнда
(1.5.3)
онда
(1.5.2) (1.5.3) формуласынан бағалауын
(1.5.5)
аламыз. Мұнда С - 3 ретті
2 жағдайда да осындай нәтижеге келеміз. Сәйкес бағалауларды
2 Есептік торлар құрудың әдістері
Дифференциалды теңдеу жүйелерін дербес туындымен шешуде жақсы құрылған
Қарапайым теңдеуді шешіп көрейік,
кейбір аймақтарында бастапқы және ақырғы шарттарымен сәйкес. Есептеу
(2.1)
Онда ол мынандай түрде болады:
(2.2)
Осы теңдеу есептеу кеңістігінде бірқалыпты торда шешіледі. Міндетті
Сурет 1. Физикалық кеңістіктің есептеуіш кеңістігіндегі кескіні: а)
Есептік торларды құру есебі тор түйіндісін физикалық кеңістіктен
1. Кескін бірмәнді болу керек.
2. Тор сызығы тегіс болу керек, ол туындынының
3. Тор (D) аймағының үлкен сандық қателіктер туындайтын
Бірөлшемді есептеуіш тор құру оңайлау. Бұл торларды тұрғызуда
Есептеуіш тор құру әдістерін дөрекі түрде 3 классқа
Комплекстік айнымалы функциялар теориясының әдістері.
Алгебралық әдістер.
Дифференциалдық теңдеулерді шешуге негізделген әдістер.
Біз алгебралық әдістер мен дифференциалдық теңдеулерді шешуге негізделген
2.1 Алгебралық әдістер. Дифференциалдық теңдеулерді
шешуге негізделген әдістер
Сурет 2.
Тор тұрғызу кезінде есептеуіш кеңістік тік бұрышты болу
(2.1.1)
Бұл мысалда x координатасы бойынша тұрақты қадамды таңдай
(2.1.2)
мұнда - сопло қабырғасының теңдеуі.
Түрлендірудің метрикалық коэффициенттерін есептеуде мұқият болу керек. (2.1.2)
(2.1.3)
(2.1.4)
Осы қарастырылған мысалда түрлену аналитикалық түрде болды және
Сурет 3. Физикалық кеңістіктегі есептік тор
Мынандай түрлендіруді нүктелерді физикалық кеңістікте бере отырып және
Дифференциалдық теңдеулерді шешуге негізделген әдістерге тоқталсақ.
Жоғарыда есептік тор құруда алгебралық әдісті қарастырдық. Дифференциалдық
Томпсон және т.б. тор тұрғызуда эллипстік теңдеуінің дербес
(2.1.5)
мұнда - есептеуіш аймағындағы координаталары, ал
(2.1.6)
Мұнда
Бұл теңдеуді есептеуіш кеңістікте ( )
Томпсон әдісіне қарапайым мысал 4 суретте көрсетілген. Екі
Шешім келесі түрге ие:
(2.1.7)
мұнда
Бірақ осы жағдайда шешім физикалық аймақта бірқалыпты торды
қызық. Тор шоғырланған шеңберлердің жиынтығы болып табылады.
Сурет 4. Томпсон әдісін қолдану: а) физикалық кеңістік
Бұл шеңберлерді бір бірінен тең тұрғызу үшін
Бұл ойды түсіндіру үшін (2.1.5) теңдеуін Дирихле шекарасымен
( 2.1.8)
мұнда мен
(2.1.9)
Жақша ішіндегі тұрған өрнекті шекарада нөлге теңестіріп,
(2.1.10)
Шекараның барлық нүктелерінде x пен y белгілі болғандықтан,
Есептік тор құру үшін теңдеулер дербес туындысымен қолданылуы
Екі өлшемді якобиан жағдайда түрлену физикалық пен есептік
(2.1.11)
есептік кеңістіктегі тор ұяшығының ауданында бар.Егер
торды бақылау үшін қолдануға болады. Екінші теңдеуді
(2.1.12)
осылай жазуға болады немесе
(2.1.13)
Сызық шеті
(2.1.14)
Егер мен
немесе есеппен (2.1.13), (2.1.14)
(2.1.15)
(2.1.11), (2.1.12), (2.1.13), (2.1.14) теңдеулер жүйесі кейбір белгілі
(2.1.16)
Егер қалған мүшелерін аналогиялық түрде сызықтандыратын болсақ, онда
(2.1.17)
мұнда
( 2.1.18)
матрицаларының өзіндік мәндері нақты болу керек, егер
(2.1.19)
тең. Соңғы теңдік (2.1.17) гиперболалық теңдеуі
Сипатталған процедурада тор салуда беті
а)
Сурет 5. Бетіне жақын элементар ұяшық ауданын есептеу:
Ары қарай (2.1.12) теңдеуінен анықтау
Сурет 6. Айналасы типтік профильмен салынған есептік тор
Мұнда денеге жақын нүктелердің таралуы тұтқыр орналасқан қабатты
Жоғарыда сипатталған әдістер, теңдеулерді дербес туындысымен шешпес бұрын,
2.2 Бір байланысты аймақ
Бірбайланысты аймақ, ішінде жатқан кез келген тұйық контурдың
Сурет 16. Екіөлшемді қисайған канал
Егер физикалық аймақ қандай да бір арнайы пішіннен
Дәл сол физикалық аймақтың L-бейнелі пішіні есептік аймақта
Сурет 17. Пішінді сақтаумен L-бейнелі пішіннің түрленуі
Мына суретте көрсетілген аймақта сандық алгоритмді салу, сурет
Сурет 18. L-бейнелі аймақтың тікбұрышқа түрленуі
Алайда физикалық аймақта және нүктелеріне
Есептік аймақтың бұрыш нүктелері физикалық аймақтың тегіс шекара
Сурет 19. Физикалық аймақтағы жалған бұрыштар
Физикалық аймақ шекарасының пішіні күрделі болған сайын, ықтимал
20 сурет. Жеке дөңестің тегістелуі
Дөңестік үшін (сурет 20-да бейнеленген) аз
Сурет 21. Дөңестің жазықтыққа түрленуі
Осындай тор шекарасы арқылы кіретін, ал
Егер және нүктелері
Сурет 22. Дөңестің жақсы локальді шешіммен тегістелуі
Бұл кескін қандай да бір дәрежеде сурет 20-да
Есептік аймақта физикалық шекараны кескіндеу кезінде күтілетін шешімде
2.3 Көп байланысты аймақ
Көпбайланысты аймаққа мысал болып бір немесе одан да
Бұрышты дене үшін есептік жазықтықта тікбұрышты немесе квадрат
Сурет 23. Бұрышты дененің кескіні
Физикалық аймақтағы тор біршама аздап қисайған. Егер дене
Бұл қиындықты жеңу үшін есептік аймақты жеңілдететін, физикалық
Алайда, және кері
Сурет 24. Жіңішке дененің кескіні
Сурет 25. Тегіс дененің кескіндеу кезінде тілімді енгізу:
мен шекараларын кеңейтудің және талқылауға қиылысқан
Егер сүйір дене жіңішке және алдынан мұқалса, бірақ
Сурет 26. Тегіс дене өткір артқы жиекпен: С-торы
Сурет 25-те бейнеленген және сурет 23 үшін тілімге
Көптеген бөлектенген денелерді қарастырған кезде әдетте, не есептік
Сипатталған әдіс үшөлшемді жағдайда оңай жинақталады, алайда шекаралық
Қарастырылған жағдайда генерацияланған тор уақытқа тәуелді емес деп
2.4 Көпбайланысты аймақ үшін эквиүлестіру әдісі
Мына суретте аралмен бірге өзеннің учаскесі бейнеленген, ал
Сурет 27. Өзен, аралмен бірге
Сурет 28. Ағымның аймағы
Сурет 29. Есептеу аймағы
Сурет 30. Есептік тор (81 51),
Мұндай екібайланысты аймақта есептік тор көпбайланысты аймақ үшін
Бірбайланысты аймақ үшін бұрын зерттелген -әдісінің
Осылайша, қарастырылған жағдайда есептеу аймағы
Бірбайланысты аймақтан айырмашылығы ішкі шекарасына ғана емес,
(3.3.1)
мұнда - нүктесінен аралдың
2.5 Дербес туындының теңдеуін шешу негізінде құрылатын торлар
Кез келген тор классының физикалық аймақтан есептік аймаққа
Конформды бейне: жалпы жағдайды қарастырайық. Конформды түрлену үшін
(3.4.1)
скаляр көбейткіш метрикалық тензор қатынасының компонентімен байланысты, яғни
Егер конформды түрлену қолданылса, онда есептік тор физикалық
(3.4.2)
Коши-Риман шартымен: және байланысты.
пен комплекс айнымалыларын қолдана отырып,
немесе
мұнда
(3.4.4)
Осылайша, түрлену параметрінен
Негізі конформды түрлену бірлік радиустың шеңбері сияқты қарапайым
Мұнда конформды түрлену ағым типіне шектеусіз тор салу
Торларды құрудың аяқталған әдісі ретінде конформды кескін екі
бір немесе тізбекті кескіннің салынуы, нәтижесінде физикалық және
бірінші кезеңнен алынған шекаралық нүктелердің сәйкестігін анықтайтын физикалық
Есептік тор әдетте ішкі нүктелері бірқалыпты торды құратын
,
мұнда жазықтығынан және
(3.4.6)
нүктесінің жағдайы артқы профиль жиегіне сәйкес келеді, ал
(3.4.5) түрленуді келесі тізбек түрінде қарастырған ыңғайлы:
(3.4.7 а)
(3.4.7 b)
(3.4.7 c)
(3.4.7 а) және (3.4.7 с) өрнегі өзіне тек
Сурет 31. Аэродинамикалық профиль кескінінің тізбегі.
Екінші кезеңде бірқадамды конформды кескін қолданылады. Мұнда Шварц-Кристоффель
Сурет 32. Шварц-Кристоффель түрленуі
2.6 Интегралдау аймағында тор құрудың әдістері
Квадрат жүйелі торы – үлгіленуші денелердің шекарасынан тәуелсіз
Cурет 7. Квадрат жүйелі торы
Бұл жолдың артықшылығы тор нүктесін есептеуде ерекше қарапайымдылығы
Тордың кемшілігіне объект шекарасының жанына сандық әдістерді құрудың
Сурет 8. Интегралдау облысының шекарасына жақын декарт торы.
Сол жағында ақырлы-айырымдық тордың симметриялы емес үлгісі, ал
Бірінші нұсқада нүктенің мәнін анықтау үшін экстраполяцияның қандай
Интегралдау облысының шекарасымен түйіндес төртбұрышты жүйелі тор. Жүйелі
Сурет 9. Үшбұрышты облыста жүйелі торлар
Келесі суретте әрбір нүкте арқылы тура өтетін екі
Сурет 10. Жүйелі емес тор
2.7 Бейімді торлар. Тор құрудың әдістері
Жоғарыдағы ұсынылған тор салудың әдістері тор салуда дербес
Шешімде қателіктерді азайтатындай бейімді торды жүзеге асырған дұрыстырақ.
Бейімделген торларды салу әдістемесі жайлы сөз қозғассақ, екі
(2.2.1)
Есептеу жазықтығында - бұл теңдеу келесі
(2.2.2)
Егер түрлендіру келесі түрде берілсе:
(2.2.3)
(2.2.2) теңдеуіндегі пен
(2.2.4)
аламыз. мен шамалары тор
Бейімді торлар құру әдістерінің бірі әрбір интегралдау қадамынан
Бейімді тор құрудың басқа тәсілі тор түйіндерінің қозғалыс
Бейімді торлар құруда ең алуан түрлі тәсілдер бар.
Брэкбилл мен Зальтцман вариациялық тәсілдің қолданылуымен бейімді тор
(2.2.5)
қызмет атқарады. Ортогональдық шамасын мына интегралмен
(2.2.6)
анықталады және қарастырылатын тордың элементар ұяшықтың көлемінің шамасы
(2.2.7)
анықталады, мұнда - кейбір берілген
D және CD – ны байланыстыратын түрлендіру жоғарыда
(2.2.8)
минимизациялау үшін Эйлер–Лагранж теңдеуін құру керек. Мысалы, тегістеу
(2.2.9)
есептеу жазықтықтағы белгісіз айнымалы координатасы ретінде қолдана отырып
(2.2.10)
Дифференциалдауды орындайтын болсақ, онда теңдеуді келесі түрде қайта
(2.2.11)
және коэффициенттері метрлік коэффициенттер функцияларының
Варияциялық әдіс тор құруда сенімді математикалық негізге әкеледі,
Эквиүлестіру әдісі. Бейімді тордың барлық қосымшаларында тор түйіндерін
(2.3.1)
Мына функционал үшін Эйлер–Лагранж теңдеуі келесі түрде болады:
(2.3.2)
Брэкбилл мен Зальтцман (2.3.2) теңдеуін интегралдап келесі теңдеуді
немесе
Осыдан тор қадамының көбейтіндісі мен зілдеме функция физикалық
(2.3.4)
не болмаса физикалық кеңістікте координаталарды береді:
(2.3.5)
(2.3.5) теңдеуі бейімді торларды құру заңы ретінде қолданылған.
Физикалық аймақта тор түйіндерінің ережесін (2.3.5) теңдеуі бойынша
Уайт эквиүлестіру идеясын бірөлшемді есептерді шешуде қолданды. Оның
(2.3.6)
мұнда - жоғарыда айтылып кеткен
Тор түйіндердің жылдамдығын беру әдістері. Хайдман мен Спенсер
(2.3.7)
бұл станционар теңдеу тор түйіндерінің бөлінуін анықтауда кез
(2.3.8)
табады.
Келесі уақытша қабатта тор тұрғызу әдістерінің бірі –
Бұрын Хайндман және т.б Эйлер теңдеуін шешудің құрама
теңдеуін дифференциалдаумен алынады. Бұл келесі дербес туындылы теңдеу
(2.3.9)
мұнда вектор келесі түрде жазылады:
(2.3.10)
- коэффициенттер матрицасы, векторы –
Рай және Андерсон түйiндердiң қозғалыс жылдамдығына сандық шешiмдегi
(2.3.11)
мұнда – кейбір шаманың локальді қатесі,
(2.3.12)
бастапқы шекарасымен
және шекаралық шартымен
(2.3.11) теңдеуіндегі градиентті ретінде, яғни локальді
салыстыруға болады, мұнда
табады.
Сурет 7 және сурет 8-де Рейнольдс санының
Сурет 11. кезіндегі есептеудің пайыздағы
Сурет 12. кезіндегі есептеудің пайыздағы қателер
Градиенттерді өндіруден гөрі, бірінші шешім тегістелетінін атап өту
Бұл тор түйіндердің қозғалысына бақылауды жақсы қамтамасыз етеді.
Есептік тор құру әдісін түйіндерінің қозғалыс жылдамдығын беру
(2.3.12)
түрден 2.3.13 теңдеуін
(2.3.13)
аламыз.
(2.3.13) теңдеуі физикалық кеңістіктегі тор түйіндердің қозғалыс жылдамдығын
Сурет 13-те тор кескінделген.
Сурет 13. физикалық координатада цилиндрдің айналып
Ол цилиндрдің дыбыстан жылдам айналып өту есебінде қолданылған.
Есепттің дәл шешімі белгісіз болғандықтан, негізі ретінде салыстыруға
Кейбір кезде тор құруды бақылау үшін лайықты қателер
Бейімді торды қолдануда қызығушылық танытатын есеп, ол секіру
онда секіруде шарт өрнекпен беріледі:
мұнда мен
3 Торларды құру
Бұл ерікті физикалық аймақтың нүктелерімен
Сондықтан да, торлар салуды келесі шеттік есеп ретінде
Сурет 14. Физикалық аймақта шекаралық есеп ретінде тордың
физикалық координаталары, декарт ережесіндей, тәуелсіз айнымалылар, ал
Есептік аймақта ішкі нүктелер жүйелі тор құрғандықтан, шекаралары
15 сурет Физикалық аймақта шекаралық есеп ретінде тордың
Жоғарыда анықталған шектік есепте шекаралық шарттар Дирихле шарттары
Тордың ішкі нүктелердің жағдайын анықтауда шекаралық есепті шешу
Физикалық және есептік аймақтың арасындағы типтік топологиялық сәйкестікті
пен сәйкестіктерін орнатып біткеннен кейін
анықталуы мүмкін. Кескін өзара бірмәнді болу үшін
3.1 Кездейсоқ қисық сызықты координаталарда, ортогональ қисық сызықты
Жазықтықта торды екі байланысты аймақта құру идеясы [5]
Сурет 33. Физикалық аймақты санау аймағына түрлендіру
Еркін аймақта қисық сызықты ортогональ, сандық тор тұрғызу
,
мұндағы , -
Сыртқы және ішкі шекаралардағы, екі байланысты аймақта координатты
, (3.1.2)
мұндағы , - қисықтың теңдеуі.
(3.5.2) теңдеулерді сандық жүзеге асыру, айқындалмаған сұлба көмегімен
(3.5.2) теңдеуінің айырымдық аналогы :
, .
(3.5.3) теңдеуінен табылған мәнінен
(3.5.1) теңдеулер жүйесінің айырымдық аналогының сандық шешімі, айырымдық
, ,
-бірлік оператор, , сәйкесінше
;
.
, -ге кіретін туындылар орталық айырымдармен аппроксимацияланған.
(3.5.3) айырымдық теңдеулері жүгіру санағы алгоритімі бойынша шешіледі
1) бағыты бойынша қуалау:
,
мұндағы ; .
(3.5.1)-(3.5.3), (3.5.2)- (3.5.4) физикалық аймақтың шекаралары сәйкес болғандықтан,
, , ,
(3.5.5) айырымдық теңдеуін ашып жазайық
,
(3.5.6) теңдеуін келесі түрде жазамыз
; ; ;
Қуалау коэффициенттерін анықтау үшін келесі формулалар қолданылады:
; ; ;
; ; ;
; ; ;
; ;
Қима сызығында келесі шекаралық шарттар периодтылығы ескеріледі:
, , ,
2) бағыты бойынша қуалау:
(3.1.7)
мұндағы
бағыты бойынша скалярлық қуалау қолданылады.
(3.5.7) теңдеуінің айырымдық аналогы:
3) -ді анықтау:
Жоғарыда ұсынылған алгоритмдерге методикалық сандық санау жүргізілген. Мысал
(сурет 34 а) таңдалды:
; ; ;
Санау барысында -дың мәні келесі:
a)
б)
3.6 Интерполяцияның көмегімен қисық сызықты облыстың шекарасын интерполяциялау
Интерполяция — есептеуіш математикада белгілі мәндері бар дискретті
Интерполяция есебі берілген функциядан
функциясын іздеуден тұрады.
нүктелері интерполяция түйіндері деп аталады, ал олардың жиынтығы
жұбы берілген нүктелер немесе базалық нүктелер деп аталады.
«көрші» мәндерінің арасындағы айырым — интерполяциялық тордың қадамы
Ізделініп отырған функция — интерполяциялайтын
Біздің жағдайда функциясын табу.
Сурет 35. Нүктелерден құралған қисық сызық
Қисыз сызықты интерполяциялауға кірісеміз. Ол үшін кубтық сплайнның
- бұл қадам, ал
деп табамыз.
тапқаннан кейін функциясын табуға кірісеміз. 0-ден
Сурет 36. Нәтиже
Осындай кез келген нүктелер жиынтығынан құралған қисық сызықтарды
Келесі практикалық жұмысымда дискретті нүктелер жиынтығы берілген. Мұнда
Сурет 37. Берілген дискретті нүктелер
Келесі сурет 38-де MatLab бағдарламасынан алынған нәтижелер. Әр
Сурет 38. Нәтиже
Сәйкесінше, жоғарыда көрсетілген есептеулердің нәтижесінің шешімі Fortran
Қорытынды
Интерполяциялық және тегістеу сплайндарды құрудың ортақ алгоритмы бар.
Интерполяциялық және тегістеу сплайндарды құру алгоритмы теориялық көзқараста
Сонымен қатар, тор салудың көптеген әдістері қарастырылды. Конформдық
Тор салудың алгебралық әдістердің негізгі артықшылығы – тордың
Жұмысты қорытындылайтын болсақ:
Интерполяциялаудың әдістерін қарастырылды.
Есептік тор құру. Тор құрудың, тор салудың әдістері
Кездейсоқ қисық сызықты координаталарда тор құру.
Қисық сызықты облыстың аймағын кубтық сплайн интерполяцияның көмегімен
Кубтық сплайнның көмегімен кисық сызықты облыстың шекарасын интерполяцияладық,
60