Мазмұны
Lp кеңістігі және сызықтық операторлар . . .
Сызықтық емес Урысон интегралдық
операторының кейбір қасиеттері . . . . .
Урысон операторының бір классының
үзіліссіздік критерийлері . . . . . .
Әдебиет . . . . . . . .
Lp кеңістігі және сызықтық операторлар
1-анықтама. f(x) өлшемді функциясы жоғарғыдай біз функциялардың шектелуін
.
Мұндай функциялар жиыны Lp арқылы белгілеу қабылданған (немесе
1-теорема. f(x) функциясы, р>1 дәрежелі қосындыланатын яғни
Расында да егер E=[a, b], A=E( ), B=E-A
2-теорема. Lp-ға кіретін екі функцияның қосындысы да осы класқа
Шынында да, f(x) және g(x) Lp-ға кіреді делік.
E=[a, b], A=E , B=E-A десек, онда
,
бұдан
екендігі шығады.
Осылайша біз шекті интегралданатынына көз
Мұндағы k – шекті тұрақтылық.
р>1 болсын. саны р-ға
болаиыны себепті q-ға түйіндес көрсеткіш р бар, демек бұл
3-теорема. Егер , ал ,
(1)
теңсіздігі дұрыс.
Дәлелдеуі: 01 болғанда былай болады:
(10)
Lp- дағы g(x) – функциясының кез келген орнын
Гëлдер теңсіздігін пайдалана отырып орташа жинақталу жүйелілігінің (сол шекке)
Егер p=1 болса, түйіндес көрсеткіш болмайды. Мұндай жағдайда
Қорытындылай келе талдауда кеңістігінде қолданылатын (мұндағы
нақты санының Lp кеңістігінде жиынның барлық жүйелілігін x=(x1, x2,
саны элементінің нормасы деп
Норма енді әдеттегі қасиетке ие.
І. және
ІІ. және дербес жағдайда
ІІІ. .
Алғашқы екі қасиет айқын, ал үшінші (9) – дан
Е және Е1 – екі сызықтық топологиялық кеңістік болсын.
Сызықтық операторда Е Е1 деп
y= Ax,
шартты қанағаттандыратын
айтады.
DA жиынтығы А –
А операторы нүктесінде үзіліссіз болады,
Е және Е1 нормалданған кеңістік болғанда мына анықтама келесіге
бұдан шығатыны
жиыны Ах=0 үшін А сызықтық операторын ядросы деп аталады,
Бұл тараудың басында келтірілген сызықтық функционал ұғымы ол сызықтық
Сызықтық емес Урысон интегралдық
G және F – ақырғы өлшемді кеңістікте екі өлшемді
(1)
Урысон операторы дейді.
1-теорема. R(t,s,u) және R1(t,s,u) функциясы Каратеодори шарттын
(t G, s F, -∞0 δ=
.
{un(s)}n≥0 L∞ болсын және
(15)
(15) үшін ε>0 n0=n0(ε). Мынадай
(16)
барлық n>n0-де.
Келесі
.
(14) және (16) теңсіздігінен шығады
, n>n0
1)=>2) орынды екендігін көрсетеді.
K үзіліссіз болсын, K операторы компакт екенін дәлелдейік.
үйір функциясын қарастырайық. Т( ) тізбегі {K(t,cn)} болсын.
.
Сонымен, Т( ) үйір функциясы Lq-де компакт. Сондықтан
1) М=M( ) саны және
.
2) Кез келген ε>0 әсері δ=δ(ℓ,ε)>0
.
3) Кез келген ε>0 әсері N=N(ℓ,ε)>0
(19)
барлық |c|