ЖОСПАР
Алғы сөз 1
1.Тарау. Мектепте теңдеулер мен теңдеулер жүйелерін оқытудың логикалық құрылымдары
§1. Теңдеулер мен теңдеулер жүйелерінің ғылыми – теориялық мазмұны.
§2. Сызықтық теңдеу және шешудің танымдық маңызы. 9
§3. Сызықтық теңдеулер жүйелері. 11
§4. Квадрат теңдеу 17
§5. Екінші дәрежелі теңдеулер жүйесі . 24
§6 . Бөлшек рационал теңдеулер . 26
§ 7 . Иррационал теңдеу және иррационал теңдеулер жүйесін
§ 8 . Көрсеткіштік теңдеу және көрсеткіштік теңдеулер жүйесі
§9. Логарифмдік теңдеу және логарифмдік теңдеулер жүйесі 31
§ 10. Тригонометриялық теңдеулер және тригонометриялық теңдеулер жүйесі. 33
2 . Тарау теңдеулер мен теңдеулер жүйелерінің логикалық құрлымдарын
§ 1. Сызықтық теңдеуді түсіндіру тәжірибесі 34
§2. Сызықтық теңдеулер жүйесін түсіндіру тәжірибесінен 37
§3. Квадрат теңдеу және квадрат теңдеулер жүйесінің логикалық құрлымын
§ 4. Иррационал теңдеу мен иррационал теңдеулер жүйесін түсіндіру.
Алғы сөз
Орта мектепте математикалық білімдер жүйесін оқытуда теңдеулер мен теңдеулер
Теңдеулер мен теңдеулер жүйелерін терең түсініп меңгеру математикалық білімдерді
Олай болса, теңдеулер мен теңдеулер системаларының теориялық және практикалық
Алгебралық кеңінен баяндалатын сандар жұйелері мен функциялар, теңсіздіктер сол
Теңдеулер мен теңдеулер жүйелері орта мектеп математикасының бағдарламасының негізгі
Мысалы, координат әдісінің және аналитикалық геометрияның пайда болуымен дамуы
теңдеу мазмұнды есептер шешу құралы;
теңдеу алгебралық объектіні үйретуге қызмет ететін ерекше формуланың ролін
теңдеу формула ретінде қосымша санды немесе өзінің шешімі болатын
Сонымен, теңдеу көп аспектілі жалпы математикалық ұғым. Математикалық білім
Теңдеу тақырыбының маңыздылығы және ауқымының кеңдігіне байланысты оны осы
Теңдеудің пайда болу обылысы және теңдеу ұғымының алгебрадағы атқаратын
А) Қолданбалы бағыт. Теңдеулер мен олардың жүйелерін мазмұнды есептерді
Қазіргі математиканың басқа тарауларда қолданылуы көбінесе математикалық модельдеуге байланысты.
Б) Теңдеу мен теңдеулер жүйелерін үйренудегі теориялық -
1. аса маңызды теңдеулер және олардың жүйелерінің класын оқу,
2. бір бағытқа жататын жалпыланған ұғымдармен әдістерді бүтіндей үйрену.
Теңдеулердің негізгі кластары жай және әрі аса маңызды математикалық
Жалпыланған ұғымдар мен әдістерді қолдану теңдеулер мен олардың жүйелерін
Өз кезегінде жалпы ұғымдар мен тәсілдер: белгісіз, теңдік, мәндестік,
В) Теңдеулер мен олардың жүйелерін үйрену математикасының басқа тарауларымен
Теңдеулер мен олардың жүйелері сан ұғымымен тығыз байланысты. Теңдеу
Теңдеулер мен теңдеулер жүйелеріне байланысты ғылыми әдістемелік мәселерді зерттегенде
Осы мақсатпен алдымен оңайдан қиынға, жай ұғымдар мен түсініктерден
Сонымен, теңдеулер мен теңдеулер жүйелері жөніндегі мәселерді диплом жұмысына
Алдымен, теңдеулер мен теңдеулер жүйелері оқушыларды еңбек сүйгіштікке тәрбиелейді.
Теңдеулер мен теңдеулер жүйелері құратын теңдеулердің дәрежелері бірдей болғанымен,
Мысалы, 2 кг күріш пен 10 кг бидайдың бағасы
Мұндағы 1-ші және 2-ші есептер бір белгісізді сызықтық теңдеулер
Ал, 3 -ші есепті шешу үшін екі белгісізді сызықтық
Диплом жұмысының мазмұнын ашуда, әдістемелік мәнін түсіндіруде, теориялық тұжырымдар
Осыған байланысты, теориялық материалдарды оқушылардың саналарына қалыптастырудағы жаттығулар жүйелерінің
Теңдеулер мен теңдеу жүйелерін оқытудың ғылыми - әдістемелік негіздері
1.Тарау. Мектепте теңдеулер мен теңдеулер жүйелерін оқытудың логикалық құрылымдары
Мектепте математикалық білім беру жүйесінде теңдеулер мен теңдеулер жүйелерінің
Теңдеңдеулер мен теңдеулер жүйелері оқушыларды қоршаған ортадағы саналуан объектілер
Жан–жақты терең жасалған талдаулар оқушылардың материалдық толық түсінуіне мүмкіндік
Жеке теңдеулердің шешімдері бір сандар құрамында немесе бірнеше сандар
Теңдеңдеулер мен теңдеулер жүйелерін шешу барысында шешудің жалпы тәсілін
Теңдеңдеулер мен теңдеулер жүйелерін ұтымды тәсілдер арқылы шешу оқушыларды
Оқушылардың жалпы математикалық білім деңгейлерінің дамуына, қалыптасуына мүмкін болатын
Мысалы, ax^2+bx+c=0 квадрат теңдеуін графиктік жолмен шешу үшін берілген
Мектепте, теңдеулер мен теңдеулер жүйелін оқыту программалық жүйесін басшылыққа
§1. Теңдеулер мен теңдеулер жүйелерінің ғылыми – теориялық мазмұны.
Егер белгісіз шамаға саны шектелген қосу, көбейту, бөлу, бүтін
түріндегі теңдеуді бір белгісізі бар алгебрадық
теңдеу деп атайды. Мұндағы n – бүтін және теріс
- теңдеудің кофиценттеріж ; x – белгісіз, сондықтан ізделінетін
Оқушылар теңдеулерді төменгі кластан бастап – ақ шешіп келеді.
Мына есепті шешейік : “Екі сөреде 40 кітап тұр,
3х+х=40
Кітаптың белгісіз санын табу үшін, біз айнымалысы бар өрнек
3х+х=40 теңдеудің бір шешімі бар, себебі n=1.
Екі, үш және одан да көп түбірлері болатын немесе
Мысалы, (x–4)*(x-5)*(x-6)=0 теңдеуінің үш шешімі бар, олар : 4;
Х+2=х тендеуінің шешімі болмайды. өйткені
3х-7=14 және 2х+1=15 теңдеулерінің шешуін қарастырып, онда бұл екі
Егер екі теңдеудің шешімі бірдей болса, онда ол теңдеулер
X+3=x+5 және 3x+7=3x теңдеулерінің түбірлері жоқ, себебі х –
2x+5=3x+5-x және 3x=3x-4+4 немесе 2x+5=2x+5 және 3x=3x теңдеулерінде теңдіктің
Көп жағдайда берілген алгебралық теңдеу күрделі формада өрнектелуі
Теңдеудің қасиеттері :
1.Егер теңдеудің екі бөлігіне де бірдей санды ( шаманы
Төмендегі теңдеу берілген болсын дейік.
4х+5=33. Мұны шешіп, бір ғана х = 7 түбірін
4х+5+(-5) = 33+(-5),
4x+5+2,4 = 33+2,4 , немесе 4x+7,4 = 35,4
4x+5+(-12)=33+(-12)
Бұларды шешіп, барлық теңдеулердің түбірі 7-ке тең екенін табамыз.
Егер теңдеудің екі бөлігін де бірдей шамаға кемітсек, онда
2х+5 = 15 теңдеуін қарастырайық.Теңдеу шешіп, бір ғана х=5
2х+5-3=15
2х+2=12
Бұл теңдеуді де шешсек, түбірі 5 санына тең болатын
Егер теңдеудің екі жағын да нөлге тең емес бір
4х-7=13 теңдеуін қарастырайық.
Бұл теңдеудің бір ғана х=5 түбірі бар. Теңдеудің екі
-8х+14= - 26; 20х – 35 = 65;
4.Егер теңдеудің екі жэағын да нөлге тең емес бір
3х+2=8 теңдеуін қарастырайық.
Бұл теңдеудің бір ғана х =2 деген түбірі бар.
Қортынды: теңдеудің екі жағын да бірдей санға бөлгеннен теңдеудің
5.Егер теңдеудегі қосылғыштардың бірін теңдеудің екінші жағынан қарама –
Теңдеудің бұл қасиетінін шығатын қортынды: теңдеудің бір жағындағы мүмкін
Теңдеулер мен теңдеулер жүйелерінің қатаң логикалық байланыстарын дұрыс тапып
Математикалық логикалық байланыстар мағынасыздықтар, бұрмалаушылықтарға, берекесіздіктерге, негізсіз пікірлерге, дәлелсіз
Математика өзінің ішкі логикалық тазалығы жан – жақты және
Теңдеулер мен теңдеулер жүйелері жөнінде оқушылардың білімдері дәйекті және
Теңдеулер мен теңдеулер жүйелерін меңгеріп қана қоймай, оны ұзақ
§2. Сызықтық теңдеу және шешудің танымдық маңызы.
Төмендегі дәйекті материалдық объектілерді қарастырайық.
2кг қант----- 100 теңге
5 етіс ----- 800 теңге
3 көйлек --- 500 теңге
10 л сүт ---- 250 теңге
-------------------------------
-------------------------------
-------------------------------
яғни, бұл мысалдарды бірінен кейін бірін жалғастыруға болады. Өзіміз
Сызықтық, яғни бірінші дәрежелі болуы, теңдеудегі белгісіз х-тің дәреже
1 кг қанттың құнын аңықтау үшін, 2 кг қанттың
ах=в сызықтық теңдеуінің шешімі болуы үшін, біріншіден а коеффициенті
(1-та баяндалған теңдеудің ғылыми теориялық мазмұнына сүйеніп, сызықтық теңдеудің
Сызықтық теңдеудің 2 жағына бірдей шаманы қосқаннан теңдеу өзгермейді.
ах=в теңдеуінің екі жағына т санын қосайық, сонда ах+т=в+т.
теңдеудің екі жағын бірдей шамаға кеміткеннен теңдеу өзгермейді:
ах-т=в-т
10х-7=20-7
Сызықтық теңдеудің екі жағын бірдей шамаға көбейткеннен теңдеу өзермейді.
Теңдеудің екі жағын нөлден өзгеше санға бөлгеннен, теңдеу өзгермейді.
Мысалы, 15х=200 теңдеуі т=1,5 үшін, 15х/1,5=200/1,5 балады.
Теңдеудің бір жағындағы мүшіні теңдеудің екінші жағына қарама –
Мысалы, 4х=40 теңдеуін қарастырайық. Бос мүше 40-те теңдеудің сол
4х-40=0 болады.
ах=в теңдеуі бойынша сан-алуан материалдық болмысқа байланысты болады. Олай
§3. Сызықтық теңдеулер жүйелері.
Көп жағдайда есеп құрамында екі немесе одан көп заттарға
x+y=6 теңдеуін де, y-x-1=0 теңдеуін де дәл ( ақиқат)
Осыдай жағдайларда х+у=6 және у-х-1=0 теңдеулер жүйесін шешу керек.
Х+У=6
У-Х-1=0 (1)
Екі айнымалысы бар теңдеулер жүйелерінің шешімі деп жүйенің әрбір
жүйені шешу үшін бір координаттық жазықтыққа х+у=6 және
у-х-1=0 теңдеулерінің графиктерін саламыз. Графиктердің қиылысу нүктелерінің әрқайсысының координаталары
Демек, жүйенің шешімі (2,5; 3,5).
Теңдеулер жүйесін біз пайдаланған тәсілі графиктік тәсіл денп аталады.
Графиктік тәсіл әдетте шешімдерді жықтап табуға ғана мүмкіндік береді.
Сызықтық теңдеулер жүйесінің жалпы түрі:
А1Х + В1У =С1
А2Х + В2У =С2
Мұндай жүйенің әр кезде де шешімі болама, ал шешімі
Төмендегі теңдеулер жүйесі берілсін
3х + у = -1
х - 2у = 8
Теңдеудің әрқайсысындағы у –ті х арқылы өрнектеп,
У = -3х – 1
У = 0,5х – 5
Теңдеулер жүйесінің графиктері болып табылатын түзулердің бұрыштық коэффициенттері (
2)
3х – 2у = 12
6х – 4у = 11
Теңдеудің әрқайсысындағы у – ті х ақылы
у = 1,5х – 6
у = 1,5х – 2,75 (2)
у = 1,5х – 6 және у = 1,5
(1)жүйесінің шешімі болмайтынына төмендегідей қарапайым байымдау арқылы да көз
Жүйенің бірінші теңдеуінің барлық мүшелерін 2-ге көбейтсек, 6х –
сондықтан х пен у-тің бірдей
Сондықтан,
6х – 4у = 24
6х – 4у = 11 жүйесінің шешімі
3)Мына жүйені қарастырайық:
5х – 7у = 16
20х – 28у = 64
Екенші теңдеудің әрбір мүшесін 4 – ке белсек, бірдей
5х – 7у = 16
5х – 7у = 16
Бұл теңдеудің графиктері дәлме – дәл келеді, сол себепті
Енді екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің негізгі
2х + 3у = -5
х – 3у = 38
Бұл жүйенің теңдеулеріндегі у – тің коэффиценттері
3х = 33
(1) жүйенің бір теңдеуін, мысалы біріншісін, 3х =
3х = 33
х – 3у = 38 (2)
жүйе (1) жүйеге мәндес болады.
(2)жүйені шешейік.
3х = 33 теңдеуінен х = 11 табамыз. х
11 – 3у = 38, Бұл теңдеуді шешсек:
3у = 38 – 11; -3y = 27; y
жүйе теңдеулеріндей у-тің коэффицинттері қарама – қарсы екендігін пайдаланып,
2-ші мысал.
5х + 11у = 8,
10х – 7у = 74. теңдеулер жүйесі берілсін.
Егер жүйенің теңдеулерін мүшелеп қоссақ, ол ықшамдалмайды, себебі
-10х – 22у = -16,
10х – 7у = 74.
Мұны мүшелер қосудан х-тің коэффицинттері 0-ге тең болатын –29у
-29у = 58 теңдеуіне у = -2 менін табамыз.
Жауабы: ( (6; -2)(
Жалпы, екі айнымалысы бар екі сызықтық теңдеулер жүйесін қосу
айнымалылардың біреуінің коэффициенттері қарама-қарсы сандар болып, шығатындай етіп көбейткішті
жүйе теңдеулерінің сол және оң мүшелеп қосады;
шыққан бір айнымалылы теңдеуді шешеді;
екінші айнымалының сәйкес мәнін табады.
Енді екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің ауыстыру
3х + у = 7,
-5х + 2у = 3. (1)
ті х арқылы өрнектейік .
у = 7 –3х. Екінші теңдеудегі у –тің орнына
3х + у= 7,
-5х + 2 * (7 – 3x )
және (2) жүйелердің шешімдері бірдей болады.
– ші жүйедегі екінші теңдеудегі тек бір ғана айнымалы
У = 7 – 3х = 7 –
.( 1; 4) пары (2)жүйенің шешімі, олай болса,
-5х + 14 – 6х = 3,
-11х = -11
х= 1.
У = 7 – 3х теңдеудегі х
Демек, шешімдері бірдей екі айнымалысы бар теңдеулер жүйелері мәндес
қандай да бір теңдеуден бір айнымалыны екіншісі арқылы өрнектейді.
бұл табылған мәнді екінші теңдеудегі осы айнымалылардың орнына апарып
бұдан шыққан бір айнымалысы бар теңдеуді шешеді.
екінші айнымалының сәйкес мәнін табады.
Теңдеулер жүйесі бойынша тұрмыстағы түрліше проблемаларды шешуге болады. Оған
1-мысал. Қорадағы тауықтар мен қояндар 19, ал аяқтарының саны
Тауық саны – х, қоян саны – у
Х + у = 19 х = 19 –
( 2y=40-38
2у + 4у = 40
1 қоян.
2-мысалы. Бір кесе қымыз бен бір килограмм бауырсаққа 24
Бір кесе қымыз х теңге.
Бір килограмм бауырсақ у теңге.
Х + у = 24 х=24 - у
1/2х + у = 18 ( (24-y)+y=18
12 – 1/2y + =18
y – 1/2y=18-12
1/2y=6; y=12; x=24-12=12 Жауабы: бір кесе қымыз 12
Осы түрде өрнектелген теңдеулер жүйесі практикалық және теориялық ммағналары
объектілерді қамтиды.
Сызықтық теңдеулер жүйесінің маңызы орасан зор.
А1х+В1у = С1
А2х+В1У =С2
формуласындағы
А,В,С, мәндерін тиянақтау арқылы тұрмыстық түрліше проблемаларды
Оған жоғарыда келтірілген есептер мысал бола алады.
§4. Квадрат теңдеу
2х-6=0 сызықтық теңдеуін қарастырайық. Мұндағы белгісіз х-тің дәрежесі 1-ге
Ал, 2х2-6=0 теңдеуіндегі белгісіз х-тің дәрежесі 2-ге тең .
5х2-х+3=0; х2+6х=0;7х2+х-10=0 теңдеулерін қарастырайық. Бұл теңдеулердегі белгісіз х-тің ең
Кварат теңдеуді жалпы түрде ах^2+вх+с=0 (1) түрінде жазамыз .Мұндағы
Егер а=1 болса,онда берілгенквадрат теңдеу х2+вх+с=0
түрінде өрнектеледі. Мысалы: х2+8х-1=0; х2-2х+3=0.
(2) түріндегі квадрат теңдеуді келтірілген квадрат теңдеулер дейміз.
4х2 -6х+20=0 квадрат теңдеуін қарастырайық. Бас мүшенің коэффициентін
Келтірілген квадрат теңдеуге арнайы тоқталып отырған себебіміз, квадрат тендеулерді
Берілген квадрат теңдеудің екінші мүшесінің коэффициенті в=0 немесе
Мысалы , 7х -6=0 ; 3х
1) ах +с =0 ,
2)ах +вх=0, мұндағы в(0 ,с=0.
3)ах =0.
Жалпы алғандағы, аx +с=0 түріедегі толымсыз квадрат теңдеуді
х =-c/2; c(0 болғандықтан, -с/а(0 болады. Егер -с(0
Х1=+ (-с/а және х2=-(-с/а .
Егер –с/а(0 болса, онда теңдеудің нақты сандар жиынында түбірлері
Жалпы алғанда , в(0 болатын ах2+вх= 0 түріндегі толымсыз
х(ах+в)=0.
х(ах+в) көбейтіндісі көбейткіштердің кем дегенде біреуі нөлге тең
х=0 немесе ах+в=0.
а(0 болатын ах+в=0 теңдеуін шешіп , мынаны табамыз:
ах= -в
х=-в/а.
Олай болса , х(ах+в) көбейтіндісі х=0 болғанда және х=-в/а
Ах =0 түріндегі толымсыз квадрат теңдеуі х
Берілген шешудің жалпы заңдылығын зерттейік. Мұндағы а(0.
Алдымен берілген ах +вх+с=0 квадрат таеңдеуін бас мүшенің
Х + 2x * b/a + (b/2a)
Туындаған теңдеудің алғашқы үшмүше сәйкес екімүшенің қосындысының квадраты болады.
Бос мүшені теңдеудің оң жағына көшіреміз:(x+ )
Квадрат түбір табамыз,
Нәтижесінде теңдіктің оң жағындағы “+”
таңбасы үшін осы квадрат теңдеудің екінші шешімі аңықталады, яғни
Мүнан және
немесе
,
Демек, шешімі бар квадрат теңдеудің екі түбірі болады.
Ал, квадрат теңдаудің шешімі болуы үшін, болу
болса, онда оқушылардың білімдер негізіне сүйеніп, есептің шешімі жоқ
Мысалы, 12х2 +7х+1=0
Дискриминантты табамыз:
Д=72 - 4*12*1=1, Д>0.
Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын қолдансақ:
Жауабы: х1=-1/3, х2=-1/4.
Х2-7х+10=0 Келтірілген квадрат теңдеудің 2 және 5
қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынғанекінші коэффинциентке тең, ал түбірлерінің көбейтіндісі
Дәлелдеу. Келтірілген квадрат теңдеуді қарастырайық. Екінші коэффинциентті p
Х2+рх+q=0
Бұл теңдеудің дискриминанты p
D > 0 болсын дейік, сонда бұл теңдеудің екі
және
Түбірлердің қосындысы мен көбейтіндісін табайық:
,
Сонымен х1 +х2 =-р
D = 0 болғанда
Формуласы бойынша есептеп шығаруға болады дегеннен келіп шығады.
Бұл дәлелденген теорема француздың атақты математигі Франсуа виеттің есімімен
Франсуа Виет ( 1540---1603 ) Францтяның Туату провинциясында туған.Ол
Виет теоремасын пайдалана отырып, кез – келген квадрат теңдеудің
ах2 +вх+с=0 квадрат теңдеуінің түбірлері
Виет теоремасы бойынша:
х1+х2=-в/а, х1*х2=с/а.
Виет теоремасына кері тұжырымда дұрыс болады.
Теорема. Егер m және n
Теңдеуі нің түбірлері болып табылады.
Дәлелдеу. Шарт бойынша m + n = -
Х2+рх+q=0 Теңдеуін мына түрде жазуға болады.
Х2+(m+n)x+mn=0
Х – тің орнына m санын ауыстырып
Олай болса m саныы теңдеудің
n санының да теңдеудің түбірі болатынын осыған
Виет теоремасының және Виет теорамасына кері теореманың қолдануына мысалдар
1—мысал.
D = 25 – 4* 3* 2 = 1.
Келтірілген квадрат теңдеудің де түбірлері болады. Ендеше.
3x -5x+2=0 Теңдеуінің түбірлерінің қосындысы
x +x =3/5-ке тең, ал көбейтіндісі x
Виет теоремаасына кері теорема бойынша квадрат теңдеудің түбірлерінің дұрыс
2—мысал. x
D=3
Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы бойынша мынанышығарып аламыз:
Бұдан x =-8; x =5
Табылған - 8 және 5 сандарының қосындысы –
3–мысал.Берілген x +2x-8=0
Виет теоремасы бойынша:
x +x =-2; x x
Іздеп отырған теңдеудің түбірлерін
y =4x ;y =4x
Осыдан y + y =4 x
y y =4 x *4x
Олай болса, шығатын теңдеу: y +8y-128=0
Әдетте, теңдеулерді графйктік тәсілмен шешу оқушыларға қин тиеді. Кейде
1—мысал.x -9=0
У=х2 және у=9.
х1=3,х2=-3.
3-сурет.
2—мысал.
х1=-1,х2=1,75.
Математикада, физикада, теқникада болсын есептер квадрат теңдеулердің көмегімен шығарылады.
Есеп. Тік бұрышты үш бұрыштың катеттерінің бірі екіншісінен
Шешуі: Кіші катет х см – ге
x +(x+4) =20
Осы шыққан теңдеуді шешеміз: сонда
x + x +8x+16=400,
2 x +8x-384=0,
x +4x-192=0
Бұдан табатынымыз:x =-16 ,x =12
Есептің мағынасына қарағанда х мәні оң сан
Жалпы квадрат теңдеудің танымдық маңызы үлкен.
Квадрат теңдеулер көмегімен таза математикалық есептермен бірге физикалық, техникалық
Сүйтіп, квадрат теңдеулер оқып – үйрену барысында оқушылар квадрат
Олай болса, теңдеудің басқа логикалық түрлері сияқты, квадрат теңдеуді
§5. Екінші дәрежелі теңдеулер жүйесі .
Ең алдымен біреуі екінші дәрежелі, ал екіншісі бірінші дәрежелі
Мысалы:
Екінші теңдеуден х айнымалыны арқылы өрнектейік.
Х = 1 – 2у.
Бірінші теңдеу дегі х тің орнына 1–2у өрнегін қойсақ,
1-4y+4y -3y+6y -2 y =2
8 y -7y-1=0
муны шешіп,y =-1/8;y =1
Екенін табамыз. Хтің сәйкес мәндерін табу үшін у тің
х = 1–2у формуласына y =-1/8;
x=1-2y cойтіп,жүйенін екі шешімі бар: x =1
x =-1; y =1
жауабы: (1 ;- );(-1;1)
Егер жүйе екі айнымалысы бар екінші дәрежелі екі теңдеуден
2x =32
x =16; x =-4;x =4
16-y =7
-y =7-16
y =9;
y =-3;y =3
Жауабы: ( - 4, - 3 ), ( 4,
Төмендегі есепті қарастырайық: тік төртбұрыштың периметірі 80
Тік төртбұрыштың қабырғалары неге тең?
Шешуі. Тік төртбұрыштың табаны х дм-ге, ал биіктігі у
2 х + 2 у = 80.
Тік төртбұрыштың ауданы х у дм* - ге тең.
Сонымен,
Оны шешіп, x =28 ; y
болатынын табамыз. Есептің екі шешуі бар: тік төртбұрыштың қабырғалары
§6 . Бөлшек рационал теңдеулер .
5/8 х – 3 = 0 сызықтық теңдеуі
3 х ( x – 2 ) = 0
Жақшаны ашсақ, 3 х - 6 х
Сол сияқты, 1/6 х - 5
Мысалдарға келтірілген теңдеулерге тектес теңдеулерді бүтін рацйонал теңдеулер дейміз.
Мұндай сызықтық және квадрат теңдеуді жалпы түрде ах +
( мұндағы, а ( 0 ), ах
2/х – 3х = 0 теңдеуін қарастырайық. Берілген теңдеуді
Х/х-1 – 3х +1= 0 теңдеуі үшін де,осыны айтуға
2/х-3х=0 теңдеуін шешу үшін теңдеудің екі жағын х-ке көбейтеміз.
Мына бөлшек рационал теңдеуді шешейік,
(1)
Алдынғы мысалдағы секілді теңдеудің екі жағын да бөлшектердің ортақ
Х(x-3)+x-5=x+5 (2)
теңдеудің әрбір түбірі (2) теңдеудің де түбірі болып табылатыны
Теңдеуді ықшамдап, мынадай квадрат теңдеу шығарып аламыз:
Х -3x-10=0
D=9+40=49
X=3±7/2,
-2 және 5 сандары (1) теңдеудің түбірлері болама, соны
Олай болса, -2 саны (1) теңдеудің түбірі болады. х=5
Сонымен , тек –2 саны ғана х-3/х-5 + 1/х=х+5/х(x-5)
Жалпы алғанда, бөлшек теңдеулерді шешкенде былай істеген тиімді:
теңдеуге енген бөлшектердің ортақ бөлімін табу керек ;
теңдеудің екі бөлігін де ортақ бөлімге көбейту керек ;
осы шыққан бүтін теңдеуді шешу керек ;
оның ттүбірлерін ортақ бөлімді нөдге айналдыратын түбірлерден арылту керек.
Бөлшек рационал теңдеулердіңтанымдық манызы үлкен. Олар сызықтық және квадрат
§ 7 . Иррационал теңдеу және иррационал теңдеулер жүйесін
Айнымалысы түбір таңбасының астында тұратын теңдеу иррационал теңдеу деп
мысал, = 2 теңдеуін шешейік.
мысал. = x – 2
( ) = (
x = 5 ± 3/ 2;
Осы табылған сандар берілгген теңдеудің шешімдері болама, соны тексерейік.
Мынадай теңдеулер жүйесін шешейік:
u= және (=
Екінші теңдеудің сол жақ бөлігін көбейіткіштерге жіктейік:
Содан кейін бұған бірінші теңдеуден u+v=4 мәнін қоямыз. Сонда
Бірінші теңдеуден табылған v мәнін ( v = 4
V^2 – v ( 4 – v ) +
Бұдан 3v^2 – 12v + 9 = 0 .
V^2 – 4v + 3 = 0. Түбірлерін табатын
V = 4±2/2;
v- нің сәйкес мәндері мынадай:
Енді х пен у айнымалыларына ауыссақ, мынаны табамыз:
Жауабы : ( 1 , 27 ) ; (
Енді иррационал теңдеулерді шешудің графиктік тәсіліне тоқталсақ.
5 – сурет
§ 8 . Көрсеткіштік теңдеу және көрсеткіштік теңдеулер жүйесі
Мысалы, егер 3 =27 болса, онда 27-ні
бұдан x=3
II.Кей жағдайда жаңадан белгісіз шама енгізу арқылы көрсеткіштік теңдеу
2 -нi y арқылы белгілейік. Сонда 4
Сондықтан, берілген теңдеу мына квадрат теңдеуге келтіріледі:
Бұдан, ал y=2
Демек, егер тек берілген теңдеудің түбірі болатын болса, онда
Бұл теңдеудің біріншісінің х = 1 түбірі болады, ал
Тексеру : х = 1 болғанда,4 +2
Олай болса, х = 1 – берілген теңдеудің түбірі.
III.Мына теңдеуді шешукерек: 2 =3
Теңдеудің екі жақ бөлігін де 3 -ке
Алайда, 1= сондықтан,
Тексеріп қарасақ, мұның шынында да берілген теңдеудің түбірі екенін
Енді көрсеткіштік теңдеулер жүйесіне есептер қарастырайық:
2 Теңдеуін графиктік тәсіл бойынша шешіп көрейік. Оң
y=2 (1)
y=x+2 (2)
x=0;y=2
x=2;y=4
x =-1.7;x =2
Тексерейiк:2 =x+2
2 2+2
-1.7 cаны тендеудi канагаттандырмайды
Жауабы:2
2. y=2 (1)
y=x (2)
Жауабы:x =-0.75;x =2
§9. Логарифмдік теңдеу және логарифмдік теңдеулер жүйесі
Логарифмдердерді ағылшын матиматигі Дж. Непер (1550 -1617) және Швейцария
Логарифмдер теориясын дамытқан ғалым –Непер . Ол арифметикалық өрнектерді
a =b теңдеуіне, а>0 және а 0,
Анықтамасын беретін болдық, в санының негізі а
( мұндағы, в > 0, а > 0, а
Төмендегі мысалдарды қарастырайық:
1-мысал.Мәнінтабайық.
Логарифмдердің негізгі қасиеттеріне тоқталайық.
Кез-келген а > 0 ( а
1.
2.
3.
4.
5.
3–ережені дәлелдеу үшін негізгі логарифмдік теңдікті пайдаланамыз.
Бұл теңдіктерді мүшелеп көбейтіп, табатынымыз:
яғни
Қысқаша көбейтіндінің логарифмі логарифмдердің қосындысына тең болады.
4 – ережені ( 1 ) теңдіктердің көмегімен қайтадан
Олай болса, анықтама бойынша
Қысқаша бөліндінің логарифмі логарифмдердің айырмасына тең болады.
5 – ережені дәлелдеу үшін
Қысқаша: дәреженің логарифмі осы дәреженің көрсеткіші мен сол дәреже
Логарифмдік теңдеулерге мысалдар келтірейік.
мысал. Берілген теңдеуді х–тің x +4x+3=2
мысал. Теңдеуді шешейік:
3 – мысал. Теңдеулер жүйесін шешейік:
Жүйенің бірінші теңдеуі у – х = 2 теңдеуімен,
§ 10. Тригонометриялық теңдеулер және тригонометриялық теңдеулер жүйесі.
Екі тригонометриялық функцианың теңдігін қанағаттандыратын аргументтің мәндерін іздеу тригонометриялық
Мысалы,cos x= теңдеуінің түбірі жоқ,
1. sin x=m, егер | m|≤1 болса, x=(-1)
2.cosx=m,егер /m/ болса,x=
3.tgx=m,егер m кез келген сан болса,x=
4.ctgx=m,егер m кез келген сан болса,x=arcctgm+
Тригонометрияялық теңдеулер көбінесе негізгі алгебралық функцияларға келтіріліп шешіледі. Мысалы,8cos
а)sinx=- ,будан
б) sinx= , бұл теңдеудің шешуі жок,
2)
(0; ) аралығында тек
Ctgx=-1 теңдеуін шешсек,
Түбірі шартты қанағаттандырады.
а)
б)
2 . Тарау теңдеулер мен теңдеулер жүйелерінің логикалық құрлымдарын
1–тарауда теориялық мазмұны кеңінен баяндалған программалық мәселелерді оқушылардың түсіну
§ 1. Сызықтық теңдеуді түсіндіру тәжірибесі
1 піскен нан 22 теңге тұрады, яғни бір нан
Бір нан сөзін х белгісізімен ауыстырайық. Үйткені, 22 теңге
Балалар, әуелгі теңдеуге көшу үшін қандай армал орындау керек?
Демек , балалар, соңғы теңдеуден бірінші теңдеуге көшу үшін,
Екінші қатарда атырған Болат деген бала : “Апай,
Демек, балалар, теңдеудің бір қасиетін аңықтадық, Яғни бұл сөйлем
Осы теңдеуге қарап, сызықтық теңдеуді шешу үшін қандай іс-әрекет
Оқушылар сәл үндемей қалды. “ Балалар, сызықтық теңдеудегі белгісіздің
Үшінші қатарда отырған Айгүл деген қыз бала : “Апай,
Мен оқушының дұрыс жауабына қанағаттанып, Айгүлдің атына мақтау сөздерін
Мен оқушының дұрыс жауабына қанағаттанып, Айгүлдің тұжырымын оқушылар санасына
12х = 18
–3х = 24
4х = -8.
Бірінші мысалға тақтаға Болат шықты. Болат: "теңдеудегі х-тің мәнін
Екінші мысалға Жазира шығып, тақтаға былай жазды: -3х =
Жазираға: “Ал, осы есепті қалай шештің, түсіндіе ғой?”—дедім. “теңдеудің
Оқушылардың барлығы дерлік теңдеудің бұл қасйетін толық түсінгендіктерін көрсетті.
Тақтаға әуелі берілген х = 22 және 5х
Сонда бұрынғыдай емес, кіластағы оқушылардың көпшілігі бірден: “ x
Мұнан, балалар, теңдеу өзгерді ме? Сонда оқушылардың біраз бөлімі
Берген сұрағымды сәл өзгеріс енгізіп, қайтадан қайталадым. Нәтижесінде оқушылардың
1) x=13.
2x=5
–3х=6
Тақтаға жанар шықты. Ол 1-мысалдағы
Таразның тілдері бірдей деңгейде
Осы жағдайды математика тілінде 1кг=
Оқушылардың көпшілігі; Апай, cақталмайды’’, - деп жауап
Кластағы бірнеше оқушы ;‘Апай, қантың үстіне
Оқушылардың көшілігі өзгерледі деп жауап
Олай болса, балалар, теңдеудің екі
Х-15=0, 2х=14, 4х-2=0. Cызықтық теңдеудің
Х – 15= 0 теңдеуінің екі жағына
Сонда, Х-15+2=0+2
Х –13=2, теңдеұі мен бастапқы берілген
Үшінші қасиетке сүйеніп, қарастырған таразыны
Бір иіс сабын 20теңге тұрады
Міне, балалар ,жалпы ах+в=0 түрінде өрнектелетін
Олай болса ,сызықтық теңдеұді шешуге
Жалпы алғанда, бұл класс оқұшыларының
§2. Сызықтық теңдеулер жүйесін түсіндіру тәжірибесінен
Балалар, алдымен сызықтық теңдеулер жүйесін графиктік тәсілмен шешуді
Екі белгісіз бар бірінші дәрежелі теңдеулер жүйесін графиктік тәсілмен
А) Екі түзі бір нүкте қиылысады. Жүйенің бір ғана
ә) Екі түзу өзара дел келеді, яғни беттеседі. Бұл
Б) Екі түзу паралель болып келсе, жүйенің ешбір шешімі
Тақтадағы x-2y=3
5x+y=4
Ал, енді, балалар, осы теңдеулер жүйесін графиктік тәсіл бойынша
х=0, у=-3/2 .
х=3, у=0
Енді, екінші теңдеудегі х-ке мән бере отырып, у-ті мәнін
х=0, у=4.
х=4/5, у=0.
Графиктерін салсақ, екі түзу А(1;-1) нүктесінде қиылысады.
Жауабы: х=1, у=0.
Келесі мына бір есепті қарастырдым.
Есеп: Екі тік төртбұрыш берілген, біреуінің табаны 5 см,
Биiктiгi(см) Табаны(см) Ауд.косындысы(кв.см)
I.Тiктортбурыш
II.тiктортбурыш X
y 5
4 5x+4y=42
Өзгергенде.
I.Тiктортбурыш
II.тiктортбурыш X
y 10
15 10x+5y=42+33
Сонда. Біздің ізделінді жүйеміз:
Тақтаға Асылбек есімді оқушы шығып, есепті шешті.
5x=42-4y;x=
10
Жауабы:x=6;y=3
Асылбектен берілген теңдеулер жүйесін қандай тәсілмен шешкенін сұрап
Бірінші есептер шығартқаннан кейін, тақтаға,
теңдеулер жүйесін жаздым.
“Енді, балалар, осы жазылғантеңдеулер жүйесі бойынша, өздерің есеп құрастырындар”
“3 дәпдер мен 2қалапсап 60 теңге
Берілген сұраққа түсінген оқушылар бірінен-кейін бірі осы есепке мазмұндас
Оқушылардың сызықтық теңдеулер жүйелерін қаншалықты түсінгенін тексеру мақсатымен мынадай
Сызықтық теңдеулер жүйесін графиктік тәсілімен шешіндер:
2) Теңдеулер жүйесін ауыстырып, қосу тәсілдерін пайдаланып шешіндер:
1)
4)
Тәжірибесінің мазмұны мен нәтижесіне дұрыс логикалық қортынды жасау мақсатымен
7г-класс
7а-класс
1 Абрусалимова Дина 1 Алманова Анель
2 Айнабекова Айнур 2 Алимбекова Шынар
3 Бектолеуов Канат 3 Абилгази Улан
4 Беккулов Бекзат 4 Бабаев Руслан
5 Кулдаева Алима 5 Батаева Жанар
6 Калиев Руслан 6 Даркембаев Талгат
7 Калиева Асель 7 Жанысбаева Бакыткул
8 Малакова Жанат 8 Есжанов Елдос
§3. Квадрат теңдеу және квадрат теңдеулер жүйесінің логикалық құрлымын
8 класс оқушылары “ Квадрат теңдеулер ” тақырыбын оқуға
Квадрат теңдеу ұғымы енгізілген соң, оқушылардың өздеріне квадрат теңдеулерге
1) x +10x+25=0
2) x -6x-7=0
Тақтаға Айгүл шығып, бірінші теңдеуді қарастырды.
Айгүл: “ Теңдеудің сол жағын екі-мүшенің квадраты түрінде жазамын,
(x+5) =0 бұдан (x+5)=0;x=-5
Осыдан кейін теңдеуді графиктік тәсілмен шешуге көштік. Бұл үшін
теңдеуін шешуді ұсындым. Оқушылардың ішінен екінші қатарда отырған Жанар
теңдеуімен алмастыруға болатынын айтты. Оқушылар осыған ұқсас түрдегі
8 класта квадрат теңдеу құруға берілген есептерден өмірде, әсіресе
8 кластың алгебра есептерінің жинағындағы № 1726 есепте
Балалар, бұл есеп шын мәнінде колхоз-совхоз өмірінде үнемі кездесіпотыратын
Балалар, біз бірінші бригаданың участогы қанша ға екенін білмейміз,
200/х+5=300/Х+2
бұл теңдеудің ықшамдап жазатын болсақ, 200х-300/х+2+5=0 болады.
Теңдеудің екі бөлігін де х(х+2) – ге көбейтсек,
Х(х+2)*200/х-х(х+2)*300/х+2*5=0
Бұл теңдеу ықшамдау арқылы 5x -90+400=0
Сонда, x -18x+80=0 квадрат теңдеуі шығады. Теңдеудің
Х2+2=8+2=10га
Егер әр гектарга келетін өнімді табатын болсақ, бірінші бригада
300/х+2 =300/12=25 ц.
«Бұл мәндер – есептің шартын қанағаттандырып тұр ма?», -
Оқушыларды есеп шығаруға қызықтыру және математиканы өмірімен байланыстыру мақсатымен
1962 жылы Ыбырай Жақаев барлығы 1480 ц. Ал, Зәһира
Бұл есепті оқушыларға екі вариант пен шығарттым.
1 вариант бойынша оқушыларға берген сұрақтарым.
А) Ыбырай Жақаевтің жерінің ауданы қанша? Бұл сұрағыма Айгүл
ә) Зәһира Ержанованың жерінің ауданы қанша? Бұл сұрағыма Самат:
В) Ыбырай Жақаев бір гектар жерден қанша өнім алды?
Г) Заһира Ержанова бір гектар жерден қаншща өнім алды
Тақтаға Айгүл шығып, мына теңдеуді жазды:
1480/х = 1296/х – 2 + 2. Айгүл
1480/х – 1296/х-2 –2 = 0. х(х-2)*1480/х
x -94x+1480=0
D=8836-5920=2916
X= ;x
Х1 = 74 га. Бұл түбір жарамсыз, себебі; балалар,
х2 = 20. Осы түбір жарамды, себебі, балалар, бір
Енді, бір гектар жерден алған күріштің өнімін табалық. Барлық
Бұл Ыбырайдың әр гектардан алған өнімі.
Ал, Заөира Ержанованың әр гектардан өнімі:
Бұл есепті екінші вариантпен балаларға былай шығарттым.
а ) Ыбырайдың әр гектардан алған өнімі – х
ә ) Заһираның әр гектардан алған өнімі – (
б ) Ыбырайдың күріш еккен жерінің ауданы – 1480/х
в ) Заһираның күріш еккен жерінің ауданы – 1296/х-2
Сонда, біздің теңдеуіміз мына түрде болады: 1480/х = 1296/х-2
1480х – 2960 – 1296х – 2х^2 + 4[
x = 94±54/2. x1 = 74. x2
Мұнан х1 = 74ц. Ыбырай әр гектардан 74ц
х2 = 20ц. Бқл түбір жарамсыз, себебі Ыбырай
8 – класта квадрат теңдеуді алғаш өткен кезде кейбір
Жалпы алғанда, 8 – клас оқушыларының квадрат теңдеу тақырыбы
§ 4. Иррационал теңдеу мен иррационал теңдеулер жүйесін түсіндіру.
Оқушыларға иррационал теңдеулерді түсіндіру барысында, олардың назарын иррационал теңдеулерді
Радикалды қарастырғанда мынаны есте ұстау керек: теріс саннан жұп
Иррационал теңдеулерді шешкеннен кейін, лағашқы теңдеулерді түбірлердің бәрі қанағаттандырама,
Осы тақырыпты өткен кезде иррационал теңдеулердің де ұтрмыстан шыққанына
Ол үшін пифагор тсоремасын пайдаланұға
Осыдан кейін мына есепті шығарттым.
Есеп. Тік бурушты үшбуруштың периметрі
Мұның басқа қабырғаларын табу керек.
Жоспары:
1.x-ушбурыштын белгiciз катетi
2.Пифагор теоремасы бой-ша:AB =AC +BC ;
AB =4 +x ;AB=
3.Есептің шарты бойынша: p=12M не AC+BC+AB=12M
енді қабырғаларның әрқайсының мәндерін қойсақ: