Мазмұны
Кіріспе
ІІ. І-тарау. “Квант механикасындағы гармониялық
осцилатор” …………………………………………………..
Гармониялық осцилатор ………………………………
Физикалық осцилатордың матрицалық элементтерін
гармониялық осцилатор функциялары арқылы табу.
ІІІ. ІІ-тарау. “Екі бөлшектік мәселе”……………………..
Гармониялық осцилаторпотенциалындағы екі
бөлшектің күйлері үшін трансформациялық
коэффициенттер ……………………………………………
Гармониялық осцилатордың толқындық функциясын кванттық туу операторы арқылы өрнектеу
Теорияны 58Zn бен 58Nі ядроларының құрылысын
Казахстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: “ 58Zn бен 58Nі ядроның құрылысын және
Орындаған: Акбарова Э.,
4к. студенті, ФИ.
Ғылыми жетекшісі: профессор
Бақтыбаев Қырғызбай
Бақтыбайұлы.
Алматы 2002
Кіріспе
Осы дипломдық жұмыста гармониялық осцилатор функцияларының көмегімен атом ядросының
Гармониялық осцилатор толқындық функциясы квант механикасында үлкен роль атқарады.
Сондықтан ядролық, атомдық және молекулалық физикада жүйенің толқындық функцияларын
Өйткені Гамельтониан бөлшектер бойынша және кооррдинаттар бойынша бөлінгіштік қасиеті
Жұмыстың негізгі мақсаты:
а) Гармониялық осцилаторды қолданып көп бөлшекті мәселелерді қалай шешуге
б) Ядролар үшін қолдану, оның ішінде жеңіл ядролардың спектрін
Осы мақсаттарды орындау үшін ең алдымен жұмыста гармониялық осцилатор
Матрицалық элементтердің бүрыштық бөлімі барлық оператор үшін (сфералық координатта)
Жұмыста одан әрі бір бөлшектік гармониялық осцилатор толқындық функцияларын
Осыған сай 2S-1d қабықшасында болатын ерекшеліктерді зерттеу үшін қос
1-тарау
Квант механикасындағы
гармоникалық осцилатор.
Гармониялық осцилатор.
Гармониялық осцилатор дегеніміз не? Кәдімгі серпімділік күштердің әсерінен қозғалатын
- дененің тепе-теңдік қалыптан ауытқуы;
- коэффициент.
Енді осы Ньютонның дифференциалды теңдеуін мына түрде жазайық:
(1.1.1)
-қарастырып отырған дененің үдеуі. үдеуіміз ауытқудың
Осы туынды алып отырған шаманы -деп қысқаша
Енді осы - ты (1.1.1) теңдеуіне
- дененің массасы .
Осы теңдіктен - ты табатын болсақ, ол
(1.1.2)
Теңдеудегі мен
- тербеліс жиілігі.
Сонымен (1.1.2) теңдеуіміз мына түрге келеді:
(1.1.3)
Біздің ендігі міндетіміз дененің қозғалысын анықтау болады. Бұл
Яғни:
- амплетуда;
- фаза;
- бастапқы фаза.
Ньютонның негізгі дифференциалды теңдеуін жазамыз:
Ал, енді осы бір өлшемді гармониялық осцилатордың қасиеттерін
гармониялық осцилатор деп атаймыз. Осы қозғалыс үшін
Бүл жердегі Гамильтонянымыз мынаған тең:
Осыдан Гамильтон операторының негізгі теңдеуін жазатын болсақ, ол
Олай болса:
Мұндағы функциясы мына шегаралық шарттарды қанағаттандыруы
Енді мынадай белгілеулер енгіземіз:
(1.1.4)
Сонда:
(1.1.5).
Осы теңдеуді шешейік. Ол үшін теңдеуді интегралдаймыз. (1.1.5) теңдеуді
Онда (1.1.5) теңдеудің -ны -пен
(1.1.6)
болғанда бүл теңдеудің шешімін жеткілікті дәлдікпен мына түрде беруге
(1.1.7)
Шын мәнінде, ол мына түрде болады:
жағдайда соңғы теңдіктің оң жағындағы екінші мүшесі біріншімен салыстырғанда
Себебі оң таңбалы шешім ,
(1.1.8)
мұндағы (1.1.8) теңдеуінің шешімі (1.1.6)
(1.1.9)
(1.1.9)-ды (1.1.5)-ке қоямыз
-ге қысқартып, теңдеуді мына түрге келтіреміз:
(1.1.10)
белгілеуін енгіземіз. Мындағы өлшемсіз сан,
(1.1.10) теңдеуін -ға қысқартып, айнымалысын өзгерткеннен соң
(1.1.11)
Бұл Чебышев-Эрмит теңдеуі деп аталады.
Егер
онда
(1.1.12)
-кіші мәндерінде ғана қатар жинақталады. Ол үшін қатардың алдындағы
-дің туындыларын табайық.
Сонда:
Осы туындыларды (1.1.11) теңдеуге қоямыз:
Екі қатардың тең дәрежелі мүшелері бір-біріне тең болуы керек,
1)
2)
Осыдан:
болуы мүмкін емес, себебі мүшесі деп
-дің екі мәнді болуына байланысты қатар
болғанда
(1.1.14)
Бұл формула қатардың барлық мүшесін белгілі-бір мүшесі арқылы тізбектеп
(1.1.14) –теңдеу рекуренттік теңдеу деп аталады.
Енді алынған қатардың -дің үлкен мәндеріндегі
-дің жеткілікті үлкен мәндерінде қатардың бірінші мүшелерінің мағынасы аз.
және -ді ,
(1.1.15)
Оларға сәйкес қатар мүшелерінің қатынасы мына түрге енеді:
жеткілікті үлкен үшін
(1.1.16)
(1.1.15) пен (1.1.16)-ны салыстыра отырып мынадай қорытындыға келеміз:
яғни біздің қатардың жоғарғы мүшелері қатарының
Олай болса:
яғни функциясы
.
Егер қатар белгілі-бір мүшесінде үзілсе, онда
болса, онда
болады.
Осы полиномды Эрмит полиномы деп атаймыз.
орындалу міндеті
(1.1.17)
функция осцилатордың толқындық теңдеуінің шешімі ғана болып қоймай, осцилатор
формуласына өзгереді.
(1.1.17) теңдеуіне сәйкес сызықты осцилатордың
Шредингердің толқындық функциясын табу жолында энергияның, яғни
Ол осцилатордың энергиясы деп аталады.
Бөлшек арақашықтығы -дан тұратын бір-біріне тең
Қозғалысты толық жойып жіберуге болмайды. Квант механикасы сол диалектикаға
нормалау шарты осыдан аn-ді табамыз.
Толқындық функцияның ең төменгі деңгейіндегі толқындық функциясы Гаусс функциясына
n=1 болғанда ості үш жерде қиып өтеді.
n=1 болғанда ості үшке қиады. Енді қайта Шрейдингер теңдеуін
Мұны сфералық функцияда шешкеніміз оңай.
Ол Шар функциясы бойынша жазылады.
Осыдан а-ны тауып, есептей келе:
ал энергиясы:
Шредингер теңдеуі:
Гамильтон мынаған тең болады:
х-ығысу шамасы.
Бұл жердегі:
Кез келген күрделі басқа системаның толқындық функциясын
1.2. Физикалық операторлардың матрицалық элементтерін
Егер бізге ортагональды, нормоланған, толығымен белгілі толық функцияның
Гармониялық тербелесті сипаттайтын функцияның негізгі теңдеуін жазайық:
Енді гармониялық осцилатордың толқындық функциясының гамельтоняның
- осцилатордың массасы
- тербеліс жиілігі
- математикалық маятниктің ығысуы.
Кез-келген системаның толқындық функциясын әр
операторының матрицалық элементін гармониялық осцилатордың
- матрицалық элемент деп аталады
- қатарлы интеграл болуы мүмкін.
операторының өздік мәнімен У-ке
Ал квадратымен әсер етсек былай
Системамыз бірнеше бөлшектерден тұрады, олардың
яғни:
Системаның толық толқындық функциясы :
бұл дискретті функция. Мұны
-бөлшегінің бұрыштық мөлшері оң толық
Кейбір кітаптарда Клебш-Гордан коэффициенттерін былай жазады:
.
Бұл коэффициенттің бұрыштық бөлігі Вигнер-Эккарт
;
Енді осы (1.2.1) теңдеуіне (1.1.18)-бен (1.1.19)-шы
Сонда былай болады:
дәрижелерін: деп белгілесек,
Олай болса:
Бұл интеграл Тальми интегралы
(1.2.2)
В -алғаш таблица түрінде
Осыдан
егерде болса, қалған интеграл
Іp
ІІ-тарау.
Екі бөлшектік мәселе.
2.1. Гармониялық осцилатор потенциалындағы
Екі денелер үшін жалпы мәселелерді
Екі бөлшектік осцилаторлық толқындық функцияларды
(2.1.1)
Бұл -мен -нің (
Сондықтан бұл күйлерді салыстырмалы координата
Ол үшін координата мен импульстерді
Бұл шамалардың өлшем бірліктері
(2.1.2)
Мұнда Кет-векторлар үшін
Олай болса (2.1.1)-ді (2.1.2)-кі бойынша
(2.1.3)
десек, бізге қажет трансформациялық
(2.1.4)
Мұнда қосынды шекті, себебі оң
Трансформациялық коэффициенттер М-ге байланыссыз.
Енді трансформациялық коэффициенттің өрнектерін шығарайық.
(2.1.5)
Мұндағы
Алдымен n1=n2=0 жағдай үшін трансформациялық
n1=n2 (2.1.5) теңдеуі үшін мынаған келіп
(2.1.6)
Жаңа туу операторын енгізсек:
оларды (2.1.6) теңдігін
Қарапайым айнымалылар үшін мынадай мәселені
Оны функциялары түрінде
Онда теңдеуіміз мынаған тең:
мұндағы:
Енді өзіміздің функцияға келсек,
(2.1.8)
мұнда
Гармониялық осцилатордың толқындық
функциясын кванттық туу операторы арқылы
Гармониялық осцилатордың толқындық функциялары кванттардың
(2.2.1)
Енді жалпыланған операторларды енгіземіз:
Содан кейін мынадай
операторларын енгіземіз.
Сонда
Шредингер теңдеуін жалпыланған шамалар
Сонда
(2.2.3)
Сонымен -өздік мәні
Нормаланған көбейткіш q-ді,
Енді Шредингер теңдеуінен:
(2.2.4)
теңдіктің екі жағында -ге,
теңестіріп алсақ, онда:
болады.
Осы жолмен
Ең төменгі энергетикалық
Анықтамадан:
яғни энергияның mіn-ы.
a+, a көмегімен барлық толқындық функцияларды
Нормаланған көбейткішті тапсақ, онда:
Анықтамадан:
(2.2.5)
мұндағы Hn(Q) -эрмит полиномы.
Енді матрицалық элементін
осыдан
Сол сияқты: және
Оңай үш өлшемді жағдай үшін
Жалпы алғанда бұл функциялар L2, L3
бүтін N, l, n тақ
Бұл дәрежесі - сфералық
Онда мұндай полином
–ге тең болады.
Осыдан
Күйлері:
теңдікті қанағаттандырады.
Сондықтан -ң өздік функциясының
Негізгі күйінің функцияларына
Ол мынаған тең:
.
Теорияны 58Zn бен 58Nі ядроларының
құрылысын зерттеуге қолдану.
Жоғарыда айтылған теория тек бөлшектердің координаттарымен байланысы бар операторлардың
матрицалық элементтерін гармониялық осцилатор функциялары арқылы есептеу жолдарын өрнектейді.
Бұл әрине атомдық және молекулалық мәселелерге
қолдануға жеткілікті. Ал ядролық мәселелерде әсерлесу күштер r мен
(2.3.1)
Мұндағы бас кванттық сан,
орбиталдық,
S - спиндік кванттық сандар,
T - изоспиндік кванттық сан.
Бұл формуладағы екі бөлшек әсерлесу операторы
жалпы түрде алғанда негізінен төрт бөліктен түрады:
(2.3.2.)
мұндағы -тің матрицалық элементі центрлі
күштер үшін мына түрде жазылады:
(2.3.3.)
Екінші мүше Майоран күшін береді де, ондағы PM
-Майоран проекциялық операторы. Бұл күш бойынша алынған матрицалық элементтің
(2.3.2) теңдіктегі үшінші мүшені Бартлет күші
деп атайды да PB -ны Бартлеттің проекциялық операторы дейді.
(2.3.4)
Ал, Гейзенберг күшіндегі проекциялық оператор
( ) тәрізді әсер етеді. Мұндағы
Сөйтіп екі бөлшектің әсерлесу операторының толық
матрицалық элементін қалай есептеуді білеміз.
Бұл жерде тек әсерлесудің тензорлық бөлімін тастап
кетіп отырмыз. Өйткені оның қосатын үлесі басқалардан әлде қайда
Бұл ядролардағы 56 нуклон 1S1/2, 1P3/2, 1P1/2, 1d5/2,
2S1/2, 1d3/2, 1f7/2 деңгейлерінен құралған нуклондарға толы жабық қабықшалардың
Егер осы қос магиялық қабықшалардың үстіндегі
нуклондар протондар болса онда біз ядросын
Олардың энергиялары EP3/2=0, Ef5/2=0,75Мэв, EP1/2=1,05Мэв, ол басқа деңгейлер олардан
Олардың мына төменгі үш деңгейге әсері аз, сондықтан оларды
Осы берілгендерді пайдаланып 58Zn бен 58Nі -дің екі
бөлшектік ең төменгі спектрін есептедік. Сондағы алынған спектр суретте
Мұндағы (теориялық спектрдегі) бірінші цифрлар
кәдімгі спин -ді берсе, екінші цифрлар изоспин
Теорияны экспериментте табылған деңгей характеристикаларымен салыстырдық. Олардың қанағаттандырылған үйлесуі
E(Мэв)
6
6,-1
5,0
6,+1
4,-1
4
2 0
2 –1
2,1
5,0
2
0+-1
0+1
3,0
0
58Zn
Теория
Әдебиеттер
Ландау Л.Э. , Лифшиц Е.М. “Квантовая механика”.
Давыдов А.С. “Квантовая механика”.
Эдмондс А. “Угловые моменты в квантовой механике”.
Kramer P. Moshіnsky M. “Group Theory of Harmonіc Oscіllators
Moshіnsky M. Am. “Jornal Physіa” 36, 52 (1968).
De Frenne D.“Jacobs E. 1991, Nucl. Daba Sheets”, 63,
2