ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ ҒЫЛЫМ ЖӘНЕ БІЛІМ МИНИСТРЛІГІ
БІТІРУ ЖҰМЫСЫ
Тақырыбы: ВЕКТОРЛАР ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ ЕСЕПТЕР ШЫҒАРУДА ҚОЛДАНЫЛУЫ
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ 3
1. ВЕКТОР ҰҒЫМЫНЫҢ ТЕОРИЯЛЫҚ СИПАТТАЛУЫ 6
1.1 Вектор ұғымы және оның шығу тарихы 6
1.2 Векторларға амалдар қолдану 11
1.3 Векторларды жіктеу тәсілдері 23
2 ВЕКТОРЛАРДЫ ЕСЕПТЕР ШЫҒАРУДА ҚОЛДАНУ 26
2.1 Алгебраның кейбір есептерін шығаруда векторды қолдану 26
2.2 Планиметрияның кейбір есептерін шығаруға векторды қолдану 34
ҚОРЫТЫНДЫ 52
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 54
ҚОСЫМША А 57
ҚОСЫМША Ә 59
КІРІСПЕ
Қоғамдағы қазіргі кездегі қайта құрулар, экономиканы дамытудағы жаңа стратегиялық
Әлемнің жетекші елдерінің көпшілігінің білім беру, білім берудің мақсатын,
Жас ұрпақты жан-жақты жетілген, ақыл-парасаты, өресі биік, өз Отанын
Математиканы оқытудағы негізгі міндет – математикалық білім, білік жүйелерін
Тәуелсіз Қазақстанымыздың экономикасы өркендеп, өндіріс орындарыныың жандануына байланысты математика,
Елімізге қажет болып отырған мамандарды бүгінгі күні мектеп партасында
Біздің жоғары оқу орындарымыздың физика-математика және техника салалары бойынша
Бұл тұрғыда оқушыларға мектепте оқытылатын математика салаларын, соның ішінде,
Ғылымның бұл саласын дамытуға үлес қосқандар қатарына К.Вексель (1745-1818),
Осыған орай біз өз бітіру зерттеу жұмысымыздың тақырыбын «Векторлар
Мектеп математика курсында векторлар тақырыбына 15 сағат берілген. 10
Зерттеудің мақсаты: негізгі мектепте математика курсындағы есептерді шығаруда векторларды
Зерттеудің объектісі: оқушы танымын жетілдіретін оқу үрдісі.
Зерттеудің пәні: негізгі мектепте математика курсында есеп шығаруда танылатын
Зерттеудің болжамы: егер математика курсында геометриялық есептерді шығаруда оқушылар
Зерттеудің мақсаты мен болжамына сәйкес төмендегідей міндеттер туындайды:
математика курсында оқытылатын векторлар ұғымының шығу тарихына шолу жасау.
векторлар ұғымы туралы негізгі түсініктердің мәнін ашу.
вектордың түрлеріне тоқталу.
векторларға қолданылатын негізгі амалдарды көрсету.
негізгі мектеп математика курсындағы есептерді шығаруда векторларды қолданудың тиімділігін
Негізінен бітіру жұмысы кіріспеден, екі негізгі тараудан, қорытындыдан, қолданылған
1. ВЕКТОР ҰҒЫМЫНЫҢ ТЕОРИЯЛЫҚ СИПАТТАЛУЫ
1.1 Вектор ұғымы және оның шығу тарихы
Қазіргі заман математикасының негізгі де ілгерлі ұғымдарының бірі –
Векторлық аппарат қазіргі заман математикасында қолданумен шектелмей, жоғары оқу
Қазіргі кезде экономикалық есептердің көпшілігі векторлық аппарат көмегімен шешіледі.
Қазіргі кезде экономикалық есептердің көпшілігі векторлық аппарат көмегімен шешіледі.
Векторлық есептеулер математиканың жас салаларның бірі екендігіне қарамастан, өзінің
Векторлар мектептерімізде оқытыла батағанына ширек ғасырдан артық уақыт болды.
Жоғарыда айтылғандарды ескере келе, мұғалімдердің пайдалануына арнайы дайындалған, векторлық
Техника ғылымдардың қауырт дамуына байланысты он сегізінші ғасырдың өзінде-ақ
Векторлық есептеулерді жасауға көптеген елдердің толып жатқан ғалым –
«Ромбтың қабырғасының бойымен бірі-бірімен қарама-қарсы бағытта екі нүкте бірдей
Жауап: Әр нүкте ромб диаогналі бойымен қоғалады”.
Сұрақ: бірдей жылдамдықпен қозғалып келе жатқан нүктелер бірдей уақытта
Міне осыдан Аристотельдің
- қозғалыстарды (орын ауыстыруларды) қосуға параллелограмм ережесін қолданғандығы.
- векторлардың геометриялық қосындысн табудың қазіргі, біз қолданып жүрген
Он жетінші ғасырда Аристотельдің “қозғалыстар параллелограмы” қайтадан жанданды. Галилео
Механикадағы векторлық алгебраның негізін қалаушы Джон Валлис (1616-1703) механикаға
Он сегізінші ғасырда математика мен механикада аналитикалық әдістерімен әуестенубасым
Множ-Понселе мектебінің көрнекті өкілі Баре де Сен-Венан (1797-1886) серпімділік
Понселенің шәкірті Резаль (1820-1896) 1862-жылы жарияланған “Чистая кинематика” еңбегінде
Векторлық есептеулердің негізін салушылар Ирландия математигі әрі астрономы Уильям
1844-жылы Уильям Гамильтонның векторлық есептеулерге арналған алғашқы мақалалары және
Векторлық есептеулердің негізін салушылар деп Гамильтон мен Грассманды айтатындар
Д. Валлис, Л. Карно, Сен-Венан, резаль бұлар векторлық алгебра
Есептеудің жаңа түрі бойынша жинақталған бай, мазмұнды материалды ортақ
1918 жылы танымал математик Герман Вейль (1885-1955) векторлық аксиоматиканы
Векторлық есептеулерді жасауға үлес қосқандардың ең көрнекті дегендеріне қысқаша
Векторлық есептеулерді және олардың тамаша қолдануларын дамытуға И. И.
1.2 Векторларға амалдар қолдану
Ғылым мен техникада кездесетін кейбір шамалар тек сан мәнімен
Бір қызығы, жоғарыда аталған барлық векторлық шамалар механикада кездеседі.
Кез-келген вектордын ұзындығы (вектордың шамасына пропорционал) мен бағыты болады.
Векторларды қосу ережелері:
1) Үшбұрыш ережесі
2) Параллелограмм ережесі:
Векторлар — координаталар жүйелеріне тәуелсіз геометриялық объектер. Мысалы А-векторы
1-сурет
нүктесінде аяқталады. – импульс, күш, жылдамдық
болуы мүмкін. Ал координаталар жүйесінің басынан
нүктесіне дейінгі арақашықтықты арнайы -(радиус-вектор) символымен белгілейді:
(1.1)
-радиус-вектордың абсолют шамасы болсын. Демек,
(1.2)
Мұндағы және - бағыттаушы
Кез -келген векторын компоненттерге жіктеуге болады:
(1.3)
Енді және -
(1,4)
Егер = 0 болса. онда Пифагор
Бізге және
(1.5)
Координаталар жүйесінің бұрылуы. радиус-векторды пайдаланып, вектордың
Кеңістікті изотропты деп қарастырайык. Демек, зерттелетін физикалық жүйеміз немесе
2-сурет
радиус-векторын екі жүйеде қарастырайық, х және у осьтерін сағат
, (1.6)
Егер , онда,
б
(1.8)
Бұрылған кездегісі:
(1.9)
(1.6) теңдеуін пайдаланып, координаттарын бұрылмаған координаталар
Мысалы:
1. Екі шама берілген (-у, х). Екі өлшемді
Жүйені бүрышына бұрғанда осы шамалардың түрленуін
,
мұндағы (1.6) тендеуін пайдаланып.,
Яғни, (1.7) тендеуін қанағаттандырады. Демек. (-у,х) жұбы вектор компоненттері.
2. қарастырайық (1.7) теңдеуіне байланысты
(1.10)
(1.9) тендеуі:
(1.11)
коэффициенттерін бағыттаушы косинустар деп қарастыруға болады. (
(1.11) теңдеуін қысқаша былай жазуға болады:
(1.12)
Енді осы айтылғандарды 3,4 және одан көп өлшемдер үшін
(1.13)
мұндағы және араларындағы
коэффициентінің анықтамасынан декарттық координаттарда былай жазуға болады:
(1.14)
Бұл дербес туындылар (1.14) теңдеуін (1.13) теңдеуіне қоялық:
(1.15)
Бағыттаушы косинустар ортогональдық шарттарын қанағаттандырады.
(1.16)
немесе
(1.17)
Мүндағы - Кронекер символы,
(1.18)
мәндерін (1.10) тендеуінен (1.16) және
(1.16) теңдеуінің дұрыстығына көз жеткізу үшін (1.14) өрнегін
(1.19)
Сонымен, вектордың компоненттерін түрлендіру заңдарының жаңа анықтамасынан 2 жағдай
Әртүрлі физикалық кұбылыстарды сипаттауға қолайлы;
Математиканың жаңа бөлімі-тензорлық талдауға көшуге мүмкіндік береді.
Осыған байланысты жаттығулар көрсетілген (Қосымша А)
Векторлардың скаляр көбейтінді. мен
Анықтама. Нөлдік емес екі вектордың скалярлык көбейтіндісі деп олардың
= * *Cos
1 болғандықтан
= *
Егер векторлар координаталарымен берілсе =
Сонымен, *
Үш өлшсмді кеңістіктсгі векторлар үшін
+ *
Векторлардың скаляр көбейтіндісін де, сандарды көбейткендегідей, жазып орындайды,
Векторлардың математикалық көбейту зандары бір-біріне қайшы келмеуі керек. Барлық
көбейтіндісі физикада жиі кездеседі.
Мүндағы, А,В - екі вектордың абсолют шамалары, Ө -
Мысалы: жұмыс =күш х жол х соsӨ.
Скаляр көбейтіндіні анықтайық
(1.20)
(1.20)
Бірлік векторлар үшін:
(1.20а)
(1.20в)
Егер осьтерді қайта бағыттап, х осін
(1.21)
Егер және болса,
Ортогоналдық түсінігін жалғастыралық, - бірлік
Енді скаляр көбейтіндінің скаляр шама
(1.22)
және индекстерін пайдаланып, қысқаша жазалық: векторының
(1.23), (1.24)
Сонымен (1.25)
Скаляр шама, координаталар жүйесін бұруға инвариантты.
векторының өз-өзіне көбейтіндісін қарастырайық:
(1.26)
(1.27)
(1.28)
А • В -координаталар жүйесін бұруға инвариантты,
(1.29)
8-сурет
Косинустар заңы. (1.26) және (1.29) теңдеуін салыстырып, косинустар заңының
Векторлардың векторлық көбейтіндісі. Бұл көбейтіндіде екі вектордың арасындағы бұрыштың
(1.30)
мұндағы, , бірақ мұндағы
(1.306)
(1.30в)
Векторлық көбейтіндінің маңызды геометриялық қасиеті бар (4 сурет).
4-сурет
- параллелограмм ауданы.
Сонымен, векторы параллелограмм жазықтығына перпендикуляр, ал
векторлық көбейтіндінің басқа анықтамасы. -векторының компоненттері:
(1.31)
және
Векторлық көбейтіндіні анықтауыш ретінде жазған ыңғайлы:
(1.33)
(1.30) және (1.31) көбейтіңділердің эквиваленттілігін көрсетейік. Ол үшін
(1.34)
(1.35)
=>(1.34) және (1.35) теңдеулерінен С векторы А векторына да,
(1.36)
(1.37)
(1.36) теңдеуінде көбейтіндісін (1.31) теңдеуі бойынша
Енді вектор екенін керсетейік (яғни, вектордың
(1.38)
мұндағы. — циклдік ретте алуға тиіспіз.
болсын, онда (циклдік
(1.39)
(1.39) теңдеуін (1.38) теңдеуіне қоялық:
(1.40)
Осылай және
Осыған байланысты жеке жаттығу жұмыстары көрсетілген. (Қосымша А)
Үш вектордың аралас және 2-реттік векторлық көбейтінділері
және - мұндай көбейтінділер комбинациясы
- көбейтіндісінен шығатын
- скаляр вектор, ал
(1.41)
(1.42)
(1.40) теңдігі жоғарғы ретті симметриялы (1.42) тендігінен шығады.
-2 рет векторлық кебейтіндіні қарастырайық. Бұл жолы жақшаны сақтау
Демек, бұл көбейтіндіден вектор шығады. Оның
(1.44)
Аралас және 2-реттік
(1.45)
векторларын жазуға болады. (1.50) => векторы (
Соңғы тендеулер кері торларды анықтайды. Кері тор толқындардың кристалдағы
1.3 Векторларды жіктеу тәсілдері
1) Векторларды координаттық осьтер бойынша жіктеу.
Егер вектордың абсолют шамасы бірге тең болса, оны бірлік
Ал координаттың векторлар нөлдік вектордан өзге және де коллинеар
(*)
Осы жіктеудің мен
, ендеше
(*) теңдіктің екі жақ бөлігін де е 2 векторына
Сонымен, кез келген
Сондықтан, егер болса, онда В нүктесі
Теорема дәлелденді.
Есеп. мен
Шешуі. АВ векторының коордннаттары мен
2) Векторды коллинеар емес екі вектор бойынша жіктеу.
Бір түзу бойында немесе параллель түзулер бойында жатқан нөлдік
Айталық, мен
теңдігі орындалатынын дәлелдейік.
Айталық, мен
мен векторлары
дәлелдемекшіміз де осы болатын.
Айталық, мен —
түрінде көрсетуге болатынын дәлелдейік.
Айталық, А мен В - векторының
- мен
2 ВЕКТОРЛАРДЫ ЕСЕПТЕР ШЫҒАРУДА ҚОЛДАНУ
2.1 Алгебраның кейбір есептерін шығаруда векторды қолдану
Скалярлық көбейтінді көмегімен алгебралық есептерді шығару. Векторлардың скалярлық көбейтіндісі
1-есеп. -= х теңдеуін
Шешуі. Бірінші түбір астындағы өрнекті түрлендірейік:
Сонда = +6 (4)
Тендеудің мүмкін мәндер облысы [0; + ], себебі х
=(х;3), ) векторларын енгіземіз, олардың ұзындықтарын,скалярлык көбейтіндісін
= ;
= * түрінде жазуға болады.
Соңғы теңдеу және
Олай болса, .Олардың координаталары
х болғанда = ;
Жауабы: )
2-есеп. 5 =4х+6у-3 теңдеуін шешу керек.
Шешуі. = (х:2у),
= ; =
(1) теңсіздікті қолдаисақ
5 4х+6у
Олай бслса, берілген теңдеудің шешімі жоқ.
3-есеп. Кез-келгсн х, у, z үшін х+у+z = 1
хуz екенін дәлелдеу
Дәлелдеуі. = , =
* +
= ; =
(3) теңсіздік көмегімеy хуz
4-есеп. Теңдеулер жүйесін шещу керек.
{ + + =1
+ + =4
Шешуі. ; векторларын алайық
= 1; =
* =4
Берілгеи жүйені төмендегідей етіп жазамыз:
|
=4
болу керек, бізде 4 > . Бұлай болуы
5-есеп. у= + функциясының ең үлкен мәнін
Шешуі. Функция [-4,5; 6.5] кесіндісіінде анықталған.
= ; векторларын
; *
Демек, = (1) қасиетке сүйенсек,
Бұдан max = 2 . Бұл
Сонда, х=1 және у(-4,5)= , у(6,5)=
Жауабы:
6-есеп. у= 4х+ 4x функциясы ең үлкен
Шешуі. Функция барлық нақты сандар жиынында анықталған.
= 4х; 4x;
=2; = ;
(1) 4х; 4x
Берілген функция екі өспелі функцияның қосындысы, демек ол да
Бұдан =1, х= , n
Жауабы: х= , n Z.
7-есеп.
теңсіздігі,
онын мағынасы бар барлық х үшін, орындалатындығын дәлелдеу керек.
Дәлелдеуі. Теңсіздіктің сол жағы анықталатын сандық аралықты табайық:
х -
х -1
х
=(1;1;2); және =( ) векторларын қарастырайық.
* =
= =
(3) теңсіздіктен екені
8-есеп.
а болғанда а+в+с теңсіздігі
Дәлелдеуі. =( ) деп алсақ,
Кесінділердің ұзындықтарын салыстырумен байланысты болып келген геометриялық теңсіздіктерді және
Аталған теңсізліктерді векторлық әдісті пайдаланып дәлелдеуге жоғары сынып окушыларын
Біз бұл макалада. аталган такырып бойынша жо-ғары сыныптардың окушыларымен
Окушыларды жоғарыда сөз болған тенсіздіктерці векторлық әдісті пайдаланып, дәледлеуге
1. Кез келген екі және
+ ; (А)
2. Кез келген = векторының
= 0;
2.Кез келген екі және
* *
Мақалада жиі ұшырасатын кейбір кажетті ұғымдар, қатыстар және белгілеулерге
1. Үшбұрыштың медианалары әрқашан бір нүктеде қиылысады. Медианалардың
2. Үшбұрыштың биіктіктері әрқашан бір нүктеде қиылысады. Биіктіктердің
3. Тетраэдрдың төбесі мен оған қарсы жатқан жататын центроидын
4. векторының
|ав|=ав.
5. векторынык скаляр
Жоғарыда атап көрсетілген түрдегі есептерлі шығаруға кіріспес бұрын, оқушылармен
Төменде «тірек есептері» ретінде пайдаланылған векторлық теңдіктердің негізгілерін (осы
= ,
= ,
мұндағы Q нүктесі — АВС үшбұрышының ВС қабырғасының ортасы,
G ңүктесі — NАВС тетраэдрыньң АВС жағының центроиды.
II. * =
III.
= ,
мұндағы О нүктесі — АВС үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің
Векторларды мектептегі алгебра курсында көптеген мәселелерін оқытуда да пайдалануға
Векторлық әдісті кейбір теңдеулерді және теңдеулер жүйелерін шешуге, теңсіздіктерді
XI сынып оқушыларын алгебралық есептерді (стандарт және стандарт емес)
Төменде алгебралы есептерді векторлық әдіс бойынша шығару процесінде қолдануға
Кез келген нөлдік емес , ,
+ +
Теңсіздігінің, дербес жағдайда кез-келген нөлдік емес, ,
(А)
+
+ +
+ +
Теңсіздіктерінің ақикат болатындығын оқушыларға түсіндіру қиын емес.
(А)—(Д) — лардағы теңдік ("='') белгісі тек қана олардың
және векторларының скаляр көбейтіндісі
косинусының көбейтіндісіне тең болатын санды айтады,
Яғни =
* теңсіздігі дербес жағдайда
* теңсіздігі келіп шығады.
Теңдік белгісі ("=") (Е)-де және
Егер векторлар жазықтықта өздерінің координаталары арқылы берілген болса, мысалы
+
*
Ал егер және
, = ,
+
*
Ал ) және ( )
(В), (С), (Д), (Е) теңсіздіктеріндегі теңдік белгісі үшін де,жоғарыдағыға
1-есеп. xy+yz+zx x + +z
(мұндағы х, у, z>0) теңсіздігін дөлелдеңдер.
Шешуі. Аллымен (1)-ді келесі түрде жазып аламыз:
+ + xy+zy+zx * +
Енді -= және
= .
* =xy+yz+zx,
(Ғ)-ке сүйеніп, (2)-қатыстардан (1)-ді аламыз. Дәлелдеу керегі де осы
2-есеп. +
(x,y,z,t ) теңсіздігін дәлелдеңдер.
Шешуі: (З)-ті түріне
келтіріп алып, және
,
, * +
■ а-Ь=4^у~ + ^х. (4)
(Ғ)-ті ескерсек, онда (4)-қатыстардан (3) келіп шығады.
Планиметрияның кейбір есептерін шығаруға векторды қолдану
Мектеп көлемінде оқытылатын «Векторлар тақырыбы» күрделі тақырыптардың қатарына жатады.
Параллель көшіруді мынадай формулалармен көрсетіп береді:
Бұл формулалар параллель көшіргенде (х, у) нүктесі ауысатын нүктенің
Анықтама: Жазықтықтың кез-келген М(х,у) нүктесін N(х+a, у+b) нүктесіне көшіретіндей
Жоғарыдағы түрлендірумен Ғ фигурасының кез-келген нүктесін Ғ1 фигурасының кез-келген
Қысқаша былай жазамыз: .
1-ЕСЕП. Үшбұрыштың бір төбесінен жүргізілген медианасының ұзындығы, оның осы
ДӘЛЕЛДЕУІ. Айталық АВС берілген үшбұрыш, ал АQ
1-сурет
Сонда (1) теңдіктен =
Ал және векторлары
болады.
Ендеше
теңсіздігі орындалады. Дәлелдемекшізде осы болатын.
2-ЕСЕП. Тетраэдрдың бір төбесінен жүргізілген медианасының ұзындығы, оның осы
ДӘЛЕЛДЕУІ. Айталық NАВС берілген тетраэдр, ал
= теңдігі келіп шығады. Ал
Олай болса екі қатыстан
немесе
NG
Дәлелдеу керегі де осы еді.
3-ЕСЕП. Кеңістікте АВ және СВ кесінділері берілген. М және
ДӘЛЕЛДЕУІ. Кеңістіктің кез келген О нүктесін аламыз (3-сурет).
Сонда (1) теңдікке сәйкес келесі теңдіктерді табамыз:
3-сурет
Енді векторын және
-
Бұдан келесі теңдік келіп шығады:
.
теңсіздігі орындалады. Олай болса соңғы екі катыстан
Дәлелденген теңсіздіктегі теңдік ( = ) белгісі
векторлары бағытгас болғанда, басқаша етіп айтканда АВСD төртбұрышы —
4-ЕСЕП. Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрінен оның ортоцентріне дейінгі
ДӘЛЕЛДЕУІ. Айталык Н нүктесі - АВС үшбұрышының ортоцентрі, О
4-сурет
Сонда (4) теңдік орындалады. Оның оң және сол жағындағы
Бірақ =
3R→ОН 3R теңсіздігі келіп шығады.
Дәлелдеу керегі де осы болатын.
Векторлардың мектептегі геометрия курсында кеңінен пайдаланылатындығы белгілі. Дәлірек айтқанда,
Енді параллель көшірудің қасиеттеріне тоқталайық.
1°. Параллель көшіру дегеніміз козғалыс болады. Мұны дәлелдеу ұшін
Қозғалыс болу үшін М және N нүктесінің арақашықтығы М1
бұдан МN= М1N1 олай болса параллель көшіру қозғалыс
2°. Параллель көшіргенде нүктелер параллель (не беттесетін) түзулер бойымен
Жоғарыдағы 1-сызбаны пайдаланып NМ1- кесіндісінің ортасын табайық, сонда
Енді МN1 кесіндінің ортасын табайық, сонда яғни,
8-сыныпта өтілген параллелограмм туралы теорема бойынша
Егер N нүктесі ММ1 түзуінде жатса. онда
Параллель көшіргенде түзу параллель түзуге (не өзіне) көшеді.
Енді мына төмендегі теореманы дәлелдеу әдісіне көңіл бөлейік.
Теорема: М және М1 екі нүкте қандай болса да
Алдымен 1-сызбаны пайдалана отырып, ондай көшіру жолының бірден-біреу ғана
Айталық N1 нүктесі N нүктесі параллель көшіргенде оның көшетін
N1 нүктесін анықтаудағы бір мәнділік деген сол параллель көшірудің
— М нүктесінің
екіншіден
бұл М нүктесі М1 нүктесіне мына формуламен
Айта кетер жайт параллель көшірудің анықтамасын беру мен қасиеттерін
Теорема: Параллель көшіруге кері саналатын түрлендіру параллель көшіру болады.
Бірінен кейін екіншісі орындалатын параллель екі көшіру тағы да
Оқушыларға белгілі бір дәрежеде параллель көшіру туралы ұғым берілгендіктен
шынында да
болса, онда
мұндағы сандар.
Параллель көшіру такырыбына есептер шығарғанда жалаң шығармай, оны координат
Есеп: Параллель көшіру мына формулалармен көрсетіп
Берілгені:
т/к (0, 0)-?
(1,0)-?
(0, 2)-?
Шешуі:
Яғни
мұны координат жазықтығында көрсетейік. Есеп: Мынадай паралель көшіру
Берілгені:
(1,2)→ (3,4)
Т/к: а, b-?
Шешуі: 1+а=3, а=2
2 +b = 4, b =2.
Координат жазықтығын пайдалана отырып параллель көшіруге есептер шығару алдын-ала
Оқушыларға вектор туралы ұғым бергенде физика оқулығынан оларға таныс
Физикада да, геометрияда да бағытталған кесіндіні вектор дейміз деп
Егер вектордың координаттарын сол вектордың басы мен ұшының координаттары
Егер яғни векторының координаттарын
Сондықтан мына төмендегі есептерді қарастырып және оларды салыстыру арқылы
Есеп: Материялық нүктенің орын ауыстырулары көрсетілген. Орын ауыстыру векторларының
Жоғарыдағы векторлар басы координат басымен дәл келетіндей етіп параллель
Вектордың проекциялары деген ұғыммен векторды координаттары деген ұғым мағыналас
Егер вектордың абсолют шамасын берілген екі нүктенің координаттарымен көрсетер
Теорема: Тең векторлардың сәйкес координаттары тең болады.
Теорема: Егер векторлардың сәйкес координаттары тең болса, онда векторларда
Берілгені: және
Т/керек: бұдан десек
Осы формулалармен берілген праллель көшіру арқылы М нүктесі
Есеп: Мына нүктелер берілген: А(0,1), В(1,0), С(1,2), D(2,1).
Оқулықта есептер вектор тақырыбын оқып болғаннан кейін жинақтап бір-ақ
Векторды қосудың анықтамасын және оларды қосудың ауыстырымдылық, терімділік заңдарының
Есеп: Векторлар қосындысын табыңдар мен
Анықтама бойынша
Есеп: векторын табыңдар, сонда:
Анықтама бойынша
Есеп: векторының абсолют шамасын табыңдар, сонда:
Шешуі:
Оқушылардың вектор туралы ұғымын бекіте түсу үшін мына төмендегі
Есеп: М мен N нүктелері АВ мен СD кесінділерінің
дәлелдеңдер.
Берілгені:
1) векторын В нүктесі С
Сонда
2)
вертикаль бұрыш бұдан бұдан
3) өлшем саламын
МВ=КМ' бұдан МА=КМ, бұдан
Ендеше АКМ'М параллелограмм.
Ендеше ММ'=АК,
Есеп: мен векторлары
Берілгені:
Дәлелдеу керек:
Шешуі: бұдан
Есеп: Үшбұрыштың төбелері А(1,1), В(4,1), С(4.5) берілген. Үшбұрыш бұрыштарының
Табу керек: соsА, соsВ, соsС-?
Шешуі:
Қорыта айтқанда мектеп бағдарламасында векторларды оқыту үш бағытта, вектордың
1—есеп. Трапсцияның орта сызығы оның табандарына параллель жөне
Берілгені: АВСД —- трапеция. ЕҒ — трапецияның орта сызығы.
В
Е
А
1-сурет.
Дәлелдеу керегі: 1. ЕҒ параллель АД, ЕҒ
ЕҒ
Дәлелдеуі: 1— суретте көрсетілгендей етіп векторлар еңгіземіз: ЕҒ векторын
(векторларын қосудың көпбұрыш ережесі бойынша ).
векторын ЕАДҒ векторлық көпбқрышынан табамыз.
(2) болады. Осы екі теңдікті мүшелеп қосамыз:
2 + (3)
2
Осыдан немесе
Ал, соңғы теңдіктен
параллель , параллель
Осылардан . параллель
2— ессп. АВСД — кезкелгеи төртбұрыш.
векторы және векторларының
В
Е
А
2-сурет
Дәлелдеуі: 2— суретте көрсетілгендей векторлар енгіземіз. Алдыңгғы есептің
қабырғаларының орталарында жатқандықтан , ,
мен қарама-қарсы векторлар болды. Қарама-қарсы векторлардың
болып шығады. Дәлелдеу орыңдалды.
Қарастырылған есептердегі төртбұрыштар жазықтықта жатқан фигуралар еді. Төртбұрыш кеңістік
3— есеп. а— — жазықтығында жатқан
3— сурет
болатындығын дәлелдеу керек.
Дәлелдеуі: Есептің шарты бойынша а және b түзулері бір
Векторлар еңгіземіз. Векторларды қосудың көпбұрыш ережесін пайдаланып
Нәтижесінде векторлық
Қорытынды . 1. Қарастырылғаи үш есеп аналогиялы.
2. Мейлі төртбұрыш жазықтықта жатсын мейлі ол төртбұрыш кеңістік
Ескерту: теңдігінен
өрнегі туындайды. Бұл өрнектегі теңдік белгісі
Қарастырылған есептің шешуі тетраэдрдің орта сызығы үшін де
4— есеп. ВАСД тетраэдрының АВ және ДС қырларының
дәлелдеу керск.
4— сурет
Бұл ссептің шешуі алдыңғыы есептердің дәлелдеулерімен бірдей болғаңдықтан
Теорема. Параллелограмның диагональдарың квадраттарының қосындысы оның қабырғаларының
Теорема. Параллелепипедтің диагональдарының квадраттарының қосыңдысы оныи қырларының квадраттарының қосындысына
Мына төмендегі екі теоремалардың дәлелдсулері де анлогиялы болады.
Теорема. Ромбтың диагональдары өзара перпендикуляр.
Тіктөрібұрыштың диагональдары өзара тең.
Векторларды қолданып түрлі фигураларды бір теңдеумен анықтауға болады.
1-мысал. Түзуді және жазықтықты бір теңдеумен анықтауға болатындығын көрсетейік.
Түзудің теңдеуі. Кез келген а түзуінің теңдеуін табу үшін
Сондықтан *
1 –сурет
Жазықтықтағы теңдеу. Кез келген жазықтығының
жазықтықтың кезкелген нүктесін М деп белгілейік. (2-сурет).
* =0
2-сурет
Сөйтіп түзудің нормаль теңдеуі (векторлық) мен жазытықтың нормаль тендеуі
2-мысал. Шеңбер меи сфераның теңдеулері бірдей болатыңдығын көрсетейік.
Шеңбердің теңдеуі. Радиусы R, центрі В нүктесінде болатын шеңбер
- болады (екі вектордың айырым — векторын
- болады. Мұндағы
Теңдіктің екі жағының да скаляр көбейтіндісін жазайық. Сонда
Сфераның теңдеуі. Сфераның радиусы , ал центрі
- шығады. Егер және
3-сурет
Осы теңдеудің екі жағының скаляр көбейтіңдісін жазайық:
Осы теңдеу сфераның векторлық теңдеуі деп аталады.
Сөйтіп, сферамен шеңбердің векторлық тендеулері бірдей екендігін көрдік.
Бірнеше есепке бір шешу беруге болатыидығын көрсетейік.
ҚОРЫТЫНДЫ
Ғылым мен техникада кездесетін кейбір шамалар тек сан мәнімен
Векторлық есептеулер математиканың жас салаларының бірі екендігіне қарамастан, өзінің
Векторлар мектептерімізде оқытыла бастағанына ширек ғасырдан артық уақыт болды.
Жоғарыда айтылғандарды ескере келе, мұғалімдердің пайдалануына арнайы дайындалған, векторлық
Техника ғылымдардың қауырт дамуына байланысты он сегізінші ғасырдың өзінде-ақ
Векторлық есептеулердің негізін салушылар деп Гамильтон мен Грассманды айтатындар
Д. Валлис, Л. Карно, Сен-Венан, Резаль бұлар векторлық алгебра
1918 жылы танымал математик Герман Вейль (1885-1955) векторлық аксиоматиканы
Векторлық есептеулерді жасауға үлес қосқандардың ең көрнекті дегендеріне қысқаша
Мектеп көлемінде оқытылатын «Векторлар тақырыбы» күрделі тақырыптардың қатарына жатады.
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11
Атанасян Л.С. и другие. Геометрия для 9-10 классов средней
Колмогоров А.И. Агебра и начала анализа. М, Просвещение, 1994.
Галицкий Углубленное изучение алгебры и начала анализа. М, П,
Гусев В.А.,Мативненко В.И. Практика по элементарной математике. М, Просвещение,
3000 конкурсных задач по математике. М, Айриа пресс, 1999.
Зив Б.Р., Гольдич В.А. Дидактические материалы по алгебре и
Қаңлыбаев Қ. Жазықтықты векторларда қолданылатын есептер., математика, №2, 11
Жақсыбекова К.А. Векторлық және тензорлық оқу құрал. Алматы, Қазақ
И.Қазиев Решение алгебрических задач с помощью скалярного произведения, Математика
И.М.Фихтенгольц Математикалық анализ негіздері, Мектеп, Алматы, 1972 жыл, 75
Т.Ахметқалиев Математикалық талдау, Алматы, 1997 жыл, 262 бет.
А.П. Ершова Самостоятельная работа по геометрии и алгебры. Москва
Б.Т. з и в, Дидактические материалы геометрий. Москва, 98,
Бүкібаева К. Векторларды есептерді шығаруда қолдану, журнал, ИФМ 27
Қ.Р. Білім туралы заң баптары бойынша түсінік негіздері, 75
М.Асқарова Векторлар және оларға амалдар қолдану.Алматы.1992 жыл
Аяпбергенова С. Аналитикалық геоетрия Алматы,1971 жыл.
Әмірбаев М Аналитикалықгеометрия 1.2 бөлімдері, Алматы,1963-1966жыл.
Жәутіков О.А. Матаматикалық анализ Алматы,1961 жыл 45 бет.
Ибраикулов Ә.М Жоғарғы математикадан жаттығулар мен өзінді тапсырмалар
Ибрашев Х.И, Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық анализ курсы 1.2-том Алматывы,1963-1970
Клетеник Д .В. Сборник задач по аналитической геометрий. Москва
Хасеинов К.А. Математика канондары Алматы,2004-56бет.
Глейзер Н.С Ұлы матеатика курсы Алматы 1995 жыл.
Бекер Б.Н. Применеие векторов Москва,Шкоа пресс-120 стр.
Тасболатов Р.М Планиметрия есептері Алматы,Ы.Алтынсарин атындағы білім ордасы,2000 жыл
Просолов В.В. Задачи планиетрий Москва, Наука 1986 год, 1-часть
Гусятиков В,Г. Векторая алгебра в примерах и задачах. Москва,
Колмагоров А.Э Матеатик все историй рзвития Москв,ук 1991
Ермалаева .Н.А. Новые курсы математики средей школы. Москва,Просвещеия 1985
Погорелов А.В ГЕометрия 7-11 сыып Алматы, Рауа, 1997-384
Погорелов А.В. Элеметарая геоетрия 3-издаия Москва, Наука,1977 год-80стр.
Геометрия 10-11 класса А,Д Алексадров 3-издания Москва, Просвещеия
Шыыбеков Ә.Н Алматы: Актамұра,2004,-128 бет
Қ.Р. Білім туралы заң баптары бойынша түсінік негіздері, 75
ҚОСЫМША А
Векторлардың скаляр және векторлық көбейтіндісіне берілген жаттығу жұмыстары:
1. Тұрақты вектор берілген.
Бұрылған координаталар жүйесінде екенін көрсетіңіздер.
2. Келесі шамалар векторлық түрлендіру заңын (з.т.з.) (1.15)
а) (х - у, х+у, 0) векторын z осінен
б) (0, 2 z+у, z - 2у) векторын х
в) (у1 + z2, - ху, - хz) векторын
3. вектор болатынын дәлелдеңздер. Сх және
4. Барлық осьтер бойынша бұруды зерттеп,
және тұрақтыдар)
5. Екі өлшемді векторы (ах+bу,
Ескерту. Векторлық түрлендіру заңы кез-келген бұрыш және кез-келген нүкте
6. және векторлары берілген.
7. Теңдікті дәлелдеңдер.
8. Үшбұрыш нүктелерінің координаттары берілген:
(2. 1, 5),
9. және
векторлары берілген. Қайсылары өзара перпендикуляр
10.
векторларын пайдаланып, формулаларын
11. және векторына
12. және векторлары
13. В магниттік индукция Лоренц теңдеуінен анықталады:
1) ; 2)
Осы үш тәжірибеден в векторды
ҚОСЫМША Ә
Векторлардың аралас көбейтіндісіне арналған жаттығулар
1. болатындығын дәледеңіздер.
2.
3. векторы
Үш (нөлдік емес) А,В және С векторларының компланарлығының қажетті
Үш вектор берілген.
және және
6. күші нүктесінде
7.
және
кендігін көрсету керек.
60
X
Z
Y
Y
М
Ө
у
х
ВsinӨ
е