Дискретті кездейсоқ шамалардың үлестірім заңдары
Кездейсоқ шаманы білу дегенімізде, оның нақтылы сандық мәнін білу деп түсінуден аулақ болу керек. Мысалы, баланың бойы 1 метр 50 см болды десек, оның өсу мөлшері белгілі бір сандық мәнді қабылдап, кездейсоқ шама болудан өтті. Олай болса, сол кездейсоқ шама туралы толық мәлімет алуымыз үшін не білуіміз керек деген сұрау өзінен өзі туады. Осыған жауап қарастырайық.
Кездейсоқ шаманың қабылдай алатын барлық сандық мәндерін білу керектігі айтылды. Былайша айтқанда, тәжірибе нәтижесінде кездейсоқ шамасы мәндерінің бірін қабылдасын, яғни қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын жасайтын , ,..., оқиғаларының бірі пайда болсын. Бірақ бұл жеткіліксіз. Өйткені мәнін қандай ықтималдықпен қабылдайтынын да білуіміз қажет. Бұл оқиғалардың ықтималдықтарын сәйкес арқылы белгілейміз, яғни
, , ...,
оқиғалардың толық тобын жасағандықтан,
,
яғни кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндері ықтималдықтарының қосындысы бірге тең. Мқны екінші сөзбен айтқанда, бірге тең бұл қосынды ықтималдық кездецсоқ шаманың дербес мәндері бойынша қандай да бір жолдармен үлестіріліп тартылып отыр.
Сонымен, кездейсоқ шама мәндерімен оларға сәйкес ықтималдықтарды байланыстыратын ереже дискретті кездейсоқ шаманың үлестірім заңы деп аталады. Бұл заң таблица (кесте), график немесе формула түрінде өрнектелуі мүмкін. Әрқайсысын жеке-жеке қарастырайық.
I. Үлестірім таблицасы. Мұндай таблицада кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндері саналады да, оған сәйкес ықтималдықтан мәні көрсетіледі.
Кездейсоқ шама мәндері
...
Қосынды
Кездейсоқ шама мәніне сәйкес ықтималдық
...
1
Таблица түрінде берілген дискретті кездейсоқ шама ықтималдықтарының үлестірім заңын үлестірім қатары деп те атайды.
1-мысал. Екі ойын қубы ұпайлары қосындысының ықтималдықтарының үлестірімін көрсету керек.
Бұл үлестірімді алу үшін сынау барысында пайда болған нәтижелер санын тікелей есептейміз. Бұл 2-таблицада келтірілген. Мұнда жол мен бағана қиылысуында
2-таблица
Екі куб ұпайлары
1 куб ұпайлары
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
екі куб ұпайларының нөмірлері шығу ретімен көрсетілген. Бұлардың қосындысы бір рет, екі рет және т.с.с. ретпен қайталанып кездесуі мүмкін.
3-таблицаның бірінші жолында ұпайлардың қосындысы, екінші жолында сәйкес ықтималдықтар (бөлшек алымында ұпайлар қосындысының қайталану саны, бөлімінде екі кубты лақтырғанда пайда болатын барлық мүмкін нәтижелер саны) келтірілді. Сонда үлестірім табоицасы төмендегідей болады.
3-таблица
Үпай саны
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
қосынды
Ықтимал- дығы
1
2-мысал. Оқушылардың математикалық кешіне арналған жиында лотарея ұйымдастырылды. Онда 100 лотарея билеті сатылған. Лотареяда үш түрлі зат ойналады: 50-і 1 сомнан, 10-ы 2 сомнан, 5-еуі үш сомнан тұрады. Бір билет алған оқушы ұтысының үлестірім заңын анықтау керек.
Шешуі: Кезедйсоқ шаманы дейік. Ол 0, 1, 2 және 3 мәндерінің бірін қабылдауы мүмкін. Өйткені оқушының суырып алған билеті ұтпауы да (), ұтуы да , не , не мүмкін. Оқушының ұтпауына қолайлы нәтижелер саны 35, қалған 65-і сәйкес 1 сом, не 2 сом, не 3 сомдық ұтыстарға келеді. Солндықтан да -тің бұл мәндеріндегі сәйкес ықтималдықтар мынадай болады: , , , . Сонда -тің үлестірім заңы төмендегідей болады.
0
1
2
3
Қосынды
0,35
0,50
0,10
0,05
1
3-мысал. Атқыштың нысанаға тигізу ықтималдығы -ға тең. Атқыш қашан нысанаға тигенше оқ атады, нысанаға тиісімен ату тоқтатылады. Үлестірім таблицасын құру керек.
Шешуі: Жүргізілген тәжірибе саны (атқыштың нысанаға тигенше оқ ату саны) кездейсоқ шама болсын. Сонда мұның қабылдайтын мәндері 1, 2, 3, ... болуы мүмкін (іс жүзінде белгілі сан рет атқанда нысанаға дәл тиіп, келесң атулар тоқталуы мүмкін, ал теориялық тұрғыдан шексіз атыла беруі де мүмкін деп болжауға болады). Кездейсоқ шама 1-ге тең мәнді қабылдау үшін бірінші атылған оқ ықтималдықпен нысанаға тиюі қажет. Сондай-ақ мәні 2 болуы үшін бірінші атылған оқ нысанаға тиместен (ықтималдығы ), екінші атылғанда ықтималдықпен нысанаға тиюі қажет. сонда оқтың тию ықтималдығы болады және т.с.с. Кездейсоқ шама -тің үлестірімі мынадай болады.
4-таблица
1
2
3
...
... .
...
... .
Бұл таблица -тің үлестірілуі болу үшін ықтималдықтардың қосындысы сөзсіз 1-ге тең болуы қажет, яғни
, .
Мұны дәлілдеу үшін қосындыны жіктейміз, сонда:
.
II. Үлестірім көпбұрышы. Енді таблица күйінде келтірілген кездейсоқ шама үлестірімін график түрінде де көрсетуге болатынын қарастырайық. Ол үшін абсциссалар осі бойына кездейсоқ шамасы мәндерін, ал ординаталар осі бойына сәйкес ықтималдық мәндерін саламыз (1-сурет). Сөйтіп, ықтималдықтар үлестірімінің графигін жасаймыз. Ол екі түрде көрсетілген. Бірінші суретте кезедйсоқ шама мәндеріне сәйкес ықтималдықтар ординаталар осіне параллель кесінділермен берілген. Екінші суретте ординаталардың ұүштары қосылған. Соның нәтижесінде көпбұрыш алдық.ол көпбұрышты ықтималдықтардың үлестірім көпбұрышы немесе кездейсоқ шаманың үлестірім көпбұрышы деп атаймыз.
1-сурет
2-сурет
Енді үлестірім заңының функционалды тәуелділік формуласын қарастырайық. Биномдық, пуассондық, геометриялық және гипер-геометриялық үлесьірімдерді алайық.
1. Биномдық үлестірім. формуласымен берілетін-ді, мұнда .
4-мысал.
2.