Балалар біршама еркін санауға үйренгенде және санның мәнін жиын қуаттылығының көрсеткіші ретінде ұғынғанда оларды санның шартты таңбалары ретінде, символдар ретінде цифрлармен таныстыруға болады.
Практика көрсеткендей, бес жастағы балалардың көпшілігі цифрлармен жақсы бағдар жасай алады: автобустардың, троллейбустардың, үйлердің, пәтерлердің нөмірлерін — таниды; цифры бойынша ақшаны таниды т. с. с. Цифрдың суретін есіне сақтағанда, олар цифрлық санның шартты таңбасы басқа таңбаларға:+(қосу),—(азайту) = (тең),(артық), (кем) т. б. ұқсас таңба екенін әлі де болса түсінбейді. Сондықтан цифрлармен, басқа символдық таңбалармен қатар, даярлық топта ғана таныстырған дұрыс. Элементар символикамен осылайша таныстыру балалардың ақыл-ойының дамуын жаңа, одан да жоғары дәрежеге көтереді.
Балаларды цифрлармен және шартты таңбалармен=, , таныстыру жөнінен өткізілетін тапсырмалардың бірнеше варианттарын келтірейік.
Балаларра бір топ заттарды, мысалы алты қуыршақты санатып, тәрбиеші қуыршақтар санын, оларды көрместен, тек жолақтағы алты дөңге-лекшесі бар карточкаға қарап-ақ білуге болады. Балалардан бұрын мұны қашан істегендерін естеріне түсіруді сұрайды. Балалар бір топ ойыншықты тауып алып, олардың тұсына, саны сонша дөңгелекшелері бар карточкаларды қойып отырғандықтарын естеріне түсіреді. Тәрбиеші балалардың бұл айтқандарын мақұлдап қуыршақтарды шартты түрде дөңгелекшелермен белгілеуге болатынын айтады. Ал дөңгелекшелер ылғи бір катарға тізілуі тиіс пе?— деп тәрбиеші балаларға жаңа бір ой тастайды. Бірнеше жауапты таңдап алып, тәрбиеші сан фигураны көрсетеді. Ал бұл сан фигурамен біздің қуыршақтардың санып көрсетуге бола ма? Балалар мақұлдап, басын изейді. Тәрбиеші бірнеше, мысалы үш топ ойыншықтар қояды да, шақырылған үш балаға ойыншықтардың әр тобын шартты түрде сәйкес сан фигурамен белгілстеді. Балалар тапсырманы орындайды. Бірақ қуыршақтарды санағандай сан фигурадары дөңгелекшелерді де санауға тура келеді ғой. Ересек адамдардың карточкадағы дөңгелекшелерді санамай, ойыншықтар санын қалай белгілейтінін және бір карточка — ол үшеу, екіншісі — бесеу, үшіншісі — сегіз екенін бірден білетінін қайсың білесің? Кім ойлап табады?
Әрине топ ішінде, ересек адамдар цифрмен белгілейтінін айтатын балалар әрқашан да табылады. Жауапты мақұлдап, тәрбиеші енді балалар да санды цифрмен белгілейтінін, бірақ ол үшін оларды айыра білу керектігін айтады. Кәне, кім қандай цифрды біледі және оларды қайдан көрді?—деп балалардың тәжірибесінен есіне түсіруін жеделдету үшін сұрақ қояды. Міне, Нұрлан 8 цифры бар трамвайды білетінін айтады, ал трамвайдағы 8 цифры нені көрсетеді? Нөмірі бойынша адаамдар оның санын емес, трамвайдың қайда баратынын анықтайтынын, балалар айқындап алады.
Тағы қай жерде және қандай жардайларда ересек адамдар цифрды шартты таңбалар ретінде қолданатынын балалар естеріне түсіреді. Таңба-цифрлар заттардың санын көрсете ала ма?— деп тәрбиеші жаңа сұрақ қояды. Балалар немесе тәрбиешінің өзі сәйкес мысалдар келтіреді. Осыдан кейін тәрбиеші бір затты көрсетеді де, 1 цифрымен белгілейді, екі затты көрсетіп 2 цифрымен белгілейді, үш затты көрсетеді де, 3 цифрымен белгілейді.
Өзінің конфигурациясы бойынша әр түрлі және оңай есте сақталатын бұл цифрларды балалар ажырата білуге жаттығады.
Сонан соң көрсетілген цифрға олар үндеместен заттардың сәйкес санын (әуелі тәрбиешінің үстелінің, ал кейіннен өз үстелдерінің жанында тұрып) таңдап лайықтап алады.
Балалар цифрларды оңай игереді. Тек арасында біршама ұқсастығы бар цифрларға ерекше назар аудару керек, оларды айыру үшін басқаша жіктеу қажет: мысалы 1, 4, 7 не 2 мен 5, 6 мен 9, не 3 пен 8. Сондықтан цифрды ретімен емес, жазылу түріне карай топ-топқа біріктіріп қарастырған жөн. Мысалы, тәрбиеші сабақтардың бірін балалардың заттар санын қарап, лайықтап таңдап алатын 1 мен 4 цифрларына арнайды. Олармен таныстырғанда балалардың назары әр цифрдың конфигурациясына аударылады, жазылуы салыстырылады, олардың бөлшектері талданады (ортақ және өзгеше жақтары тағайындалады). Мысалы, таяқшадан тұратын 1 цифрының жазылуында оның сол жақ шекесінде кішкентай кекілі— көлбеу түскен түзу шыбыры бар. 4 цифрының да оң жағында таяқшасы бар, ал сол жағынан жоғарыдан оған кішкене бұрыш жанасып тұрады. 1 мен 4 цифларын салыстыра отырып, балалар олардың өзгешелігін сипаттап, ауада суретін салады.
Келесі сабақта балалар 1 мен 4 цифрларымен жұмыс істейді және ендігі жерде оларра белгілі 1 мен 4 цифрларының жазылуымен салғастыра отырып, жаңа цифр 7 мен таныстырады. 7 цифрының да 1 цифрындағыдай таяқшасы бар, бірақ ол түзу емес, көлбеу, сол жақ шекесінде сәл ғана ирек сызығы таяқшаға жанасқан, кейде таяқшаның ортасынан тағы бір кішкене сызықша тартылады.
Кәне, 7 цифрының 4 цифрынан қандай өзгешелігі бар?—деп сұрайды тәрбиеші. 4 пен 7 цифрларын қарастырып, олардың арасындағы ұқсастық пен өзгешелікті табады. Сонан сон, осы үш цифрды ажырата білуге және олардың сандармен байланыстары түрленуіне жаттығу жүргізіледі. Тәрбиеші біресе біреуін, біресе екіншісін, біресе үшіншісін көрсетеді, ал балалар цифрды атап өз үстелдерінен санын соларға лайықтап заттар алады (бақылау үшін бір бала тәрбиешінің үстелінің қасында тұрып жұмыс істесе де болады).
Бұдан кейін балаларға үш цифрдан таратылып беріледі. Тәрбиеші жеке бір ойыншықтардың біразын өз үстеліне қояды, ал балалар сәйкес цифрды жогары көтеріп оның нешеу екенін айтуы тиіс. Бірақ цифрмен қандай да бір жиынның бөліктерінің (ішкі жиындар) санын да белгілеуге болады, мысалы, үстелде не бары 7 ойыншық тұр, ал олар төрт бөліктен құралған: бір топ үйрек, бір топ қаз, бір топ тауық және бір топ балапан, не бары төрт топ.
Келесі сабақты 2 мен 5 цифрларының жазылуымен таныстыруға арнауға болады, олардың жазылуына талдау жасалады және салыстырылады. 2 цифрының басы сол жақтан дөңгеленіп, ал 5 цифрының төменнен оң жақтан жартылай дөңгеленіп келетініне және 5 цифрының төбесінде 7 цифрындай йрек сызық, ал 2 цифрының ондай сызығы аяқ жағында екеніне балалардың назары аударылады.
6 мен 9 цифрларының жазылуы да осылайша талданады, 6 цифрында дөңгелекше аяқ жарында, ал 9 цифрының бас жағында және сандардың әр жаққа қарап тұрраны атап көрсетіледі. Ақырында балалар 3 пен 8 цифрларының жазылуымен танысады, бұлардың өзгешелігі 8 цифрының екі сопақша сызықтан, ал 3 цифрының жартылай екі сопақша сызықтан тұратындығында.
Балалардың алған білімдерін бекіту үшін үлгі сабақтар ұсынылады. Тәрбиеші цифрды іліп қояды, ал балалар оған сәйкестеп, ұсақ заттар санап алады да, оларды өз үстеліне қояды немесе сан фигуралары бар сәйкес карточкаларды табады, не тиісті санға сәйкес қимыл-қозғалыс жасайды.
Сабақты басқаша өткізуге де болады. Мысалы, тәрбиеші біресе бір затты, біресе екінші затты бірнеше рет тықылдатады, не зат санын сан фигура түрінде, не заттардың суреті салынған карточкалардан көрсетеді, не өз үстеліне бірнеше затты қояды, ал балалар әр жолы сәйкес цифрларды көрсетеді.
Цифрлармен танысу балаларға онша қиындық келтірмейді, бірақ сан ұғымын қалыптастыру үшін бұл — жаңа кезең. Цифрдың жазылуын жақсы игеріп алуда оны талдау және қолмен ауада үлкен етіп суретін салудың көмегі тиеді.
Әр цифрды үйренуге бір-екі сабақ, ал барлық цифрлармен таныстыруға алты — сегіз сабақ керек болады. Ал цифрларды айыра білуге арналған жаттығуларды басқа программалық міндеттермен өткізілетін сабақтарда да, сондай-ақ Сыңарыңды тап, Автомобильдер мен гараждар т. с. с. қимыл-әрекет ойындары кезінде беруге болады.
Ересек балалар тобының өзінде-ақ балалар бірінші бестік көлемінде санның бірліктерден құралуының сандық мәнімен танысқан болатын. Бұл жұмыс даярлық тобында да екінші бестік сандарымен әрі қарай жалғастырылады, мұнда тәрбиеші сол таныс әдістерді пайдалана алады. Бұл жұмысты, сондай-ақ жиындармен операция кезінде пайдаланған жөн. Саны жағынан аталған санға сәйкес келетін әр түртіі заттарды салуға балалар жаттыққандықтан, бұл әдісті даярлық тобына да ұсынуға болады. Балаларға, мысалы, клеткалы қағазға әр түрлі алты геометриялық фигура салуды тапсыруға болады. Балалар бір дөңгелек, бір овал, бір квадрат, бір тік төртбұрыш, бір трапеция, бір үшбұрыштың суретін салып, фигура және санын атай отырып, өз суреттерін оқиды. Сендер әр түрлі неше фигураның суретін салдыңдар? — Алты саны неден тұрады? — деп сұрайды тәрбиеші. Алты саны бірден, бірден, бірден, бірден, бірден тағы бірден, яғни алты бірліктен тұрады, — деп жауап береді балалар. Олар бір санын бірлік деп атайды да мұның өзі басқа сандарды үйреткенде бекітіледі. Тоғыз санында неше бірлік бар? — деп сұрайды тәрбиеші. Тоғыз саны тоғыз бірліктен тұрады: біреу, біреу, біреу, біреу, біреу, біреу, біреу, біреу тағы да біреу, — деп балалар тез жауап береді.
Санның кіші екі саннан құралатынын қарастыруға баллар жиындармен жаттығулар процесінде келтіріледі. Шектеулі жиын құрамына енетін бөліктердің санын анықтауда балалар бөліктің бүтіннен кіші болатынын ұғынып алады. Жиын элементтерінің арасындағы сәйкестікті тағайындау жолымен оның бөліктерін салыстырғанда (сан есім-сөздердің көмегін санауға жүгінбестен), бұл бөліктердің сан жағынан тең де, тең емес те болуы мүмкін екенін балалар көрген болатын. Ақырында жиынның әр бөлігіндегі элементтерді санап, кез келген санның қандай бөліктен кұралғанын балалар тағайындайды. Осы және бұган дейінгі жаттығулардың өзі-ақ жиындарды әр түрлі беліктерден құрастыруға болатындығы сияқты, санды да кіші сандардан құрастыруға болатынына балалардың көзі жетеді.
Жиындармен операция жасауды білмейтін балалар, бірқатар зерттеулер (Л.А.Яблоков, Н.А.Менчинская, А.М.Леушина, Е.И.Корзакова т.б.) көрсеткендей, жиын мен санды бірыңғай бөлінбейтін бүтін ретінде қабылдайды. Мұндай балалар: Егер үстелде алты балық, ал қорапта төрт балық жатса, не бары неше балық болғаны?— деген сұраққа жеті жаста да кейде киналып жауап береді. Балықтардың әр тобын жеке санап, әдетте балалар: Олар алтау және төртеу,— деп жауап беретін.
Жиыннан оның құрама беліктерін ажыратып бөліп алуға үйрету балалардың жиын туралы түсініктеріндегі бұл бір жақтылықты жеңуге жәрдемдеседі, санның құрамын ұғынуға сезімдік негіз қалайды.
Бұл жерде мынадай ескерту жасай кеткен жөн; санды кіші сандарға жіктеу, жиыннан оның бөліктерін ажыратып білу сияқты санның құрамын жоғарыда сипатталған монографиялық метод бойынша оқып үйренумен ортақ ешнәрсесі жоқ. Өйткені ол оқытып үйретуде механикалық түрде жаттап алуға тура келтірілетін, мысалы, алты саны бес пен бірден, төрт пен екіден, үш пен үштен, екі мен төрттен, бір мен бестен құралады және бұл нақтылы материалмен иллюстрацияланып көрсетілген еді.
Қазіргі уақытта санның кіші екі саннан құралатынын оқып үйренудегі мақсат оны жаттап алу емес, жиынның біртекті, сондай-ақ әр текті элементтерден, бірнеше топтан, бөліктерден құрала алатыны, олардың санын санауға, бір топты екінші топпен салыстыруға, олардың тең қуаттылығын немесе тең қуатты еместігін анықтауға болады.
Сан шектеулі жиындардың қуаттылырының көрсеткіші болып табыла-ды, ендеше сан бүтін жиынның, сондай-ақ оның жеке бөліктерінің (ішкі жиынның) керсеткіші болып келеді екен, ал бөлік бүтіннен кіші, саннық өзі де кіші сандардан құрала алады. Жиындармен операция жасай отырып, жеке бөліктерді біріктіріп бір бүтін жиын құрастырура болатыны сияқты, дәл солайша, кіші сандарды біріктіріп, үлкен жаңа сан шығарып алуга болатынын түсіне бастайды. Санның құрамын түсінбестен жаттап алуды талап етпестен, балалардың жоғарыда айтылғандай түсініктерін қалыптастыру маңызды.
Өз кезінде Е.И.Корзакова жүргізген зерттеулер санның құрамын монографиялық метод бойынша оқып үйренгенде де жиынды бөліктерге ажыратып бөлген болатын, мысалы, олар ұсак, тастардың бөліктерінің біразын бір жакда, басқаларын екінші жаққа қойып, жеті тастары барын, ал енді бір топта олар төртеу, ал екіншісінде — үшеу бар екенін айтатын, бірақ бұл кіші сандарды біреу етіп біріктіре алмайтын, өйткені бөліктер мен бүтіннің, сан мен бірліктін, арасындағы қатынастарды түсінбейтін.
Балаларды жиындармен іс-арекет жасауға, санау әрекетіне үйретуде олар мүлде басқа жолмен дамитын болады. Даярлық топта санның белгілі бір, санның өзіне тең, бірліктерден құралатынын, сандардың натурал қатары қалай жасалатынын біледі және натурал сандардың арасындағы өзара кері қатынастарды түсінеді, санның басқа сандар арасындағы орнын біледі және оны дәлелдей алады.
Осының бәрі балалардың кез келген санды бірліктерге ғана емес, сондай-ақ басқа да сандарға жіктеуге болатынын оқай түсінуге мүмкіндік береді.
Бес көлемінде санның кіші екі саннан құралатынын оқып үйренудің балалар бақшасында есептеу іс-әрекетіне дайындау үшін практикалық мәні бар. Төртке үшті қосу үшін, үш санын бірліктерге жіктеу керек те бір-бірден қосып санау әдісін қолданып, екінші қосылғышты бір-бірден қосу керек: төрт+(бір + бір + бір). Немесе былай: төртке+(екі + бір). Осы кезеннің өзінде-ақ балаларды бір-бірден қосып санаудың бұл екі тәсілін үйретіп алу маңызды. Ал ол үшін бірінші бестік көлеміндегі сандардың қандай кіші сандардан құралатынын білу керек.
Сандардың құрамын оқып үйренуде әр түрлі әдістерді қолданура болады.
Олардын біреуі мынадай. Тәрбиеші бір жағы қызыл түске, ал екіншісі көк түске боялған дөңгелекшелерді алады. Бір түсті үш дөңгелекше алып қояды да оларды санап, тәрбиеші бұл жардайда үш санының түсі бірдей үш дөңгелекшеден: бір, бір тары да бірден тұратынын атап көрсетеді. Бірақ үш саны деп аталатын жиынды екі түсті элементтерден кұрастырура да болады: тәрбиеші үшінші дөңгелекшенің екінші жағын айналдырады да жиынның қандай тұсті дөңгелекшелерден кұрастырылғанын сұрайды. Үш саны деп аталатын жиын екі қызыл дөңгелекше мен бір кек дөңгелекшеден құралатынын айтады. Сонан соң тәрбиеші бір дөңгелекшенің тары да екінші жағын бұрады, енді балалар үштің бір қызыл және екі кек дөңгелекшеден құралғанын көреді.
Балалардың жауаптарын жинақтай келе, тәрбиеші үш санын түрліше: екі мен бірді немесе бір мен екіні алып құрастыруға болатынын баса айтады. Үш дөңгелекшені басқаша ажыратып белуге де болады: мысалы, бір дөңгелекшені бір жолаққа, ал екі дөңгелекшені— екінші жолаққа қоюға болады, бірге алранда бұрынғыша үшеу болады. Тәрбиеші бұл тапсырманы барлық балаларға орындаттырады да екі жолақтары дөңгелекшелерді екі жолаққа өз қалауынша бөліп қойып кімнің қалай істегенін айтқызады.
Мынадай тапсырма ұсынуға болады: балалар төрт үшбұрыштың (немесе басқа бір фигуралардың) суретін салады да, әркім қалауынша, екі түске бояйды. Балалардан сұрағанда төрт санның екі түсті үшбұрыштардан құралуының әр турлі варианттары айқындалады.
Жаттыға отырып, балалар үш, төрт, бес элементтен бір-бірінен өзгешелігі түсінде (формасында, өлшемінде) болатын екі бөліктен тұратын жиын қүрастырады да соның негізінде үш-төрт, бес санын қандай кіші сандардан құрастыруға болатынын біліп алады.
Түсінен басқа ішкі жиындардың кеңістікте орналасу белгісін пайдалануға болады. Мысалы, балара бес ұсақ тас (бес дөңгелекше немесе кішкене ойыншықтар) береді де, олардың біразын бір қолына, қалғандарын екінші қолына қысып ұстап тұруды ұсынады. Басқа балалар оның қайсы қолында неше тас барын ойлап табулары керек. Дұрыс тапқан бала жаңа тапсырма орындайды.
Тапсырманың бір варианты ретінде бес ойыншықтан тұратын топты екі балаға бөліп беруге болады. Ойыншықтарды алғандар шығады да балаларға кім қанша алғанын және бірге алғанда не бары нешеу екенін көрсетеді.
Жалпы сан, сондай-ақ онын құрама бөліктері көрсетілуі тиіс болатын балалардың жауаптарын тәрбиеші бақылап отыруы маңызды. Менің не бары бес жалаушам бар еді, оның үшеуін мен Ираға, екеуін Володяға бердім. Ира мен Володяда бірге алғанда бес жалауша бар. Демек, бес санын үш пен екіден құрастыруға болады.
Жиындарды белгілі бір белгісі бойынша жіктеуге жаттыруда балалар кейде ішкі екі жиынмен шектеліп қана қоймайды, оның үш және төрт бөлігін айырып беледі, бірақ сабақтарда жиындарды бірте-бірте және реттілік сақтай отырып жіктеу қажет, дайындық топта балалар санды жіктейді де, оны кіші екі саннан ғана құрастырады:
2 саны: 1 мен 1
3 саны: 2 мен 1, 1 мен 2
4 саны: 3 пен 1, 2 мен 2, 1 мен 3
5 саны: 4 пен 1, 3 пен 2, 2 мен 3, 1 мен 4.
Санның құрамын оқып үйренгенде балалардың назарын жол-жөнекей сан фигураларда (ересек балалар тобынан бастап балалар пайдаланатын) дөңгелекшелер әрқашан кішкене топтармен орналасатынына аударуға болады. Ал бұл сан фигураны танып білуде тек сыртқы форманы танып білуге және оның сан есім сөзбен ассоциациясына ғана сүйенбей ұсақ сандық топтардың бір бүтінге үйлесуі мен бірігуіне сүйенуге көмектеседі. Мұндай жағдайларда жиын балаға кез келген орналасу формасында танылады.
Алрашқы бестік көлеміндегі сандарды екі топка жіктеуге жаттығу, кіші сандардыбір санға синтездеуге үйрету балаларды біз әрқашан, кем дегенде, екі сан пайдаланылатын арифметикалық амалдарды игеруге дайындау болып келеді.
Реттік санауды оқып үйрену ересек балалар тобында пысықтайды. Бірақ басты міндет — балаларды санның реттік және сандық мағыналарын айқын дифференциялауға, сандық сан есімдерді, сондай-ақ реттік сан есімдерді саналы түрде пайдалану, қанша? және нешінші?, санағанда нешінші? деген сұрақтарға дұрыс жауап беру (белгілі бір сапалық белгіні айқындау үшін қолданылатын қандай деген сұрақпен шатастырмау керек). Бірте-бірте балалар саннын, екі мәні: сандық және реттік мәндері бар екенін түсінуге келтіріледі. Сандық мәні санның, қандай ретпен саналап отырғанына, ретіне байланыссыз заттардың санау нәтижесін көрсетеді (маңыздысы барлық заттар және әрбіреуі бір рет қана саналса болғаны). Реттік сан болса натурал қатардағы санның нөмірі, басқа сандар арасындағы оның орнын көрсетеді.
Даярлық топта реттік сандардың іс жүзінде пайдаланылуы жөніндегі балалардың түсінігін кеңейте түсу маңызды. Нөмірленген заттар кейін де тек сол нөмірлері бойынша ажыратылатынын мысалы, театрда, поезда,. самолетте орындар нөмірленеді, үйлер, үйлердегі пәтерлер, трамвай, автобус маршруттары т. б. нөмірленетінін балаларра әңгімелеп беру керек, Немірлеу бір затты екіншісінен айыруга, қажетті орынды, пәтерді т. б.. табура көмектеседі.
Жиындарды салыстыра отырып, олардың элементте-
рінің арасыида өзара-кері сәйкестіктерді тарайындай
отырып, остиярлар тобының өзінде-ак балалар үлкен ндаР М,СІ[ КІШІ са"ДаРДы айь,ра біледі. Бес жаста білімдерді бекіту балалар бір санның екінші саннан неліктен үлкен (не
кіші) ексчіін түсініп, тетелес сандардан құралган жи-ындардың сан жағынан тсң еместерін қалай теңестіруге болатынын біле-ді. Бірақ мұның бәрін балалар іс жүзінде, нақтылы жиындарды пайдала-на отырып ұрынран болатын.
Даярлық топта оқытудагы міндет — балаларды сандардың арасында-РЫ өзара-кері қатынастарды түсіне алатын: әрбір натурал п санының ке-лесі саннан біреуі артық және, керісінше, әрбір алдыңры санның келесі саннан біреуі кем (п±1) — сонымен бірге тетелес сандар арасындары айырмалық қатынастарды игере алатын дәрежеге жеткізү.
Әрине даярлық топтагы балалардың натурал қатардың құралу прин-ципіне кең түрде тұжырым жасауға шама-шарқы келмейді және оның қа-жеті де жоқ, бірақ жиындарды салыстыру негізінде бір санның екінші саннан неліктен үлкен екенін іс жүзінде түсіндіріп, көрсете отырып, олар сандарды салыстырып және өзінің жауабының дұрыстығын дәлелдей отырып, олардың арасындагы айырмалық қатынастарды тағайындай алады. Алдыңгы топтарда істелген жұмыстармен салыстырғанда даярлық топта-ғы жұмыстың қиыншылығы осы болады.
Даярлық топта әр түрлі анализаторларды (көру, есту, сипап-білу, қи-мыл-әрекет) қатыстыра отырып, жиынды іс жүзінде бірге арттыру немесе кеміту әдістерін пайдалану маңызды. Бұны балалардың цифрлар жөнін-дегі білімдерін бекітуге байланыстыруга болады.
Мысалы, тәрбиеші 6 цифрын полотноға қыстырып қояды да, осыдан біреуі кем болатын үшбұрышты және біреуі артық болатын дөңгелек-шелерді санап алуды тапсырады. Балалар өз үстелдеріне бес бұрыш пен жеті дөңгелекше алып қояды, ал тәрбиеші алты квадрат салынған табли-цаны іліп қояды. Ол дөңгелекшелер, квадраттар және үшбұрыштар санын салыстырып, қайсы санның қандай саннан үлкен екенін айтқызады. Жеті алтыдан, ал алты бестен үлкен,— дейді Саша. Жеті саны мен бес саны жөнінде енді не айтуға болады?—деп сұрайды тәрбиеші. Балалар біраз ойланып жеті санының бестен үлкен екенін айтады. Ал бұл сандардың қайсысы басқаларынан. кіші? Балалар үшбұрыштарға, квадраттарра және дөңгелекшелерге қарап, бестің алтыдан кіші, ал алтының жетіден кіші екенін айтады. Бес пен жеті сандары жөнінде не айтуға болады? Балалар: Бес жетіден кіші деген қорытындыға тез келеді.
Осылайша балалар бірте-бірте транзитивтік қатынастарды түсінетін болады, бұл өте маңызды және зерттеулер мен практика көрсеткендей, балалардың шама-шарқына әбден лайық1.
Санды арттыру және кемітуге, сондай-ақ сандарды теңестіруге беріл-ген мұндай тапсырмалар әр түрлі бола алады: тықылдату, секіру, доп лақтыру, цифрда керсетілгеннен немесе ауызша аталғаннан бір адымды артык, бір адымды кем жасау. Бұл тапсырмаларды орындауды цифрлар мен таңбалары бар карточкаларды пайдаланып жазумен аяқтауга болады: Полотнода неше дедгелекше болса, сонша рет тықылдат және оны цифрлармен және таңбалармен жаз. Бала 8=8 деп жазады да оқиды: Сегіз сегізге тең.—Сен неге теңдік таңбасын қойдын?—Өйткені сонша деген сөз теңдікті білдіреді және (тең) таңбасымен белгіленеді,—деп жауап береді бала.
Сандарды салыстыру үшін мынадай сабақ өткізуге болады. Тәрбиеші тақтаға 8 бен 7 сандарын жазып қояды да, бұл цифрлармен, жазылган сандардың қайсысы қайсысынан үлкен (кіші) екенін балаларға ойлап керуді тапсырады. Бұл кезеңде балаларды үлкен және кіші сияқты шартты белгілермен таныстырған жөн. Шартты белгілерді білсе, балалар 87, ал 78 деп керсете алады. Мұның өзі балалардың тетелес сандар мен тең сандарды салыстыруға деген ынтасын жаңадан тудырады. Сегіз саны жетіден үлкен және, керісінше, жеті сегізден кіші деген тұжырымды балалар іс жүзінде дәлелдей білулері керек. Шақырылған бала дөңгелек-шелерді жоғаргы және теменгі жолаққа бір-біріне сәйкестеп тез қойып
шығады да, төменгі жолаққа орналасқан жеті жиынында жогарғы жолак-тағы сегіз жиынының соңғы дөңгелекшесіне сәйкес дөңгелекше жоқ еке-нін көрсетеді. Жеті саны мен ссгіз санының арасындагы теңдікті тагай-ындау. үшін не істеу- керек,— деп сұрайды. тәрби-еші. Не жетіге бір дең-гелекшенІ қосу керек, сонда екі жиында сегізден болады, не сегізден бірді шегеру керек, сонда екі жиында жетіден болады,— деп жауап бере-ді де, бала екі жағдайды да іс жүзінде орындап, олардың әрбіреуінің астына сәйкес цифрлар мен тацбалар қояды: 8 = 8 және 7 = 7.
Тапсырманың басқа вариантын келтірейік. Тәрбиеші балаларға цифр-ды көрсетіп, біреуі артық (не. кем) санды айтуды тапсырады.*Балалар тиісті цифрды көтеріп көрсетеді. Келесі жолы тәрбиеші баланы үстелдіц жанына шақырып алып, оған түймслері бар карточкаларды береді де, олардың саны нешеу екенін сипалау сезімі арқылы анықтатады. Бала сәйкес цифрды тауып, түймелері бар карточкалардың жанына барлық балалар көретіндей етіп қоюга тиіс. Келесі балага тәрбиеші саны көрсе-тілген цифрдан біреуі кем болатындай рет секіріп, ал басқа балалар, се-кіру санынан біреуі артық ұсақ заттар таңдап алып, жиынды цифрмен белгілеуді тапсырады. Сендердің жауаптарың карточкадағы түймелер са-нына тең болғаны неліктен?—деп сұрау қойып, тәрбиеші балалардың ойына қозғау салады. Балалар ойланып қалады. Алайда кейбіреулер бірден жауап беруге дайын: Сіз Мишаға түймелер санынан біреуі кем болатындай рет секіруге, ал бізге Мишаның секіру санынан біреуі артық болатындай заттар алуды тапсырдыңыз. Санның ең алгаш біреуін кемітіп, сонан соң ол санның біреуін арттыру керек болды. Сондықтан ол бұрынгы қалпында қалды.
Программада балалар санды кез келген саннан бастап тура және кері ретпен (10 көлемінде) атай білулері, аталған санга немесе цифрмен кер-сетілген санга тетелес санды атай білу керектігі -көрсетілген. Жоғарыда керсетілгең жаттығулар балаларды осыған дайындайды. Тәрбиешінін мін-деті — балаларды сандарды тура және кері ретпен атап шығуға машық-тандыру емес: балалар санды екі жағынан, оның бірілікке қатысты сан-дық жағы мен тетелес санДарға қатысты оның реттік жағын ұгып алуы маңызды екенін баса керсеткен 'жөн. Егер балалар мұны жақсы ұғынса, олар сандарды кез келгенінен бастап тура жоне кері ретпен толық саналы түрде атай алады.
Сандарды салыстыруга жаттыгулардың басқа да түрлерін келтірейік.
Кез келген саннан бастап тура және кері ретпен ауызша санау. Бұл әдіс тәрбисшілерге жақсы таныс. Педагог санды атайды, ал бала келісім бойынша келесі бір санды Ікчиесе алдыңгы бір санды атайды. Жеті,— дейді тәрбиеші. Сегіз,— деп жауап береді бала. Тоғыз—Он т. с. с. Сандарды кері ретпен атау да осылайша өткізіледі. Сегіз—Жеті; То-гыз—Сегіз; Алты—Бес.
Сонан сон, педагог бір смсс, бірнеше санды, мысалы, көрсетілген саннан кейінгі үш-төрт санды тура ретпен не кері ретпен арттырады. Сол 5 цифрын іліп қояды да бірдсмі келосі төрт санды атауды ұсынады. Алты, жеті, сегіз, тогыз,— деп атайды балалар. Төрбиеші 7 цифрын іліп қоя-ды да алдыңғы төрт санды атауды ұсынады. Алты, бес, төрт, үш,— деп жауап береді балалар.
Мұнда неге назар аудару керек? Педагог атаган немесе керсеткен санды балалар атамайды: бірден келесі немесе алдыңгы сандарды атаулары керек. Сондай-ақ санды бірден бастапІ іздеуге дагдыландырмау керек (сандардың арасындагы қатынастарды анық біліп алмаған балалар көбі-несе солай істейді). Егер балалар калай да сандарды даусьш шыгармай атап отырса демек, олардың тетелес сандар арасындагы қатынастарды
түсінбегені. Сондықтан сандардың бірден бастап ретін құрғақ жаттап алуға машықтануының балалардың дамуына ешбір пайдасы жоқ. Егер бұдан бұрын балалармен жұмыс істегенде тура және кері ретпен алынған тетелес сандар арасындағы қатынастарды ұғынуга көп көңіл бөлінген болса, онда сандарды кез келген саннан бастап атау еш қиындық келтір-мейді.
Тетелес сандарды табудағы жаттығулардың келесі бір түрі Мен қан-дай санды атамай тастап кеттім, соны ойлап тап деген сұраққа дұрыс жауап беру керек болатыны.
Тәрбиеші Алты—сегіз,— дейді де былай деп сұрайды: Мен қандай санды тастап кеттім? Балалар Жеті санын,— деп жауап береді.
Саидарды кері ретпен атауға да болады: он — сегіз, жеті — бес, ал-ты —төрт т. с. с.
Түрлендіру үшін педагог тура және кері ретпен атаған бірқатар сан-дар ішінен оның атамай тастап кеткен санын табу ұсынылады, мысалы,, төрт, бес, жеті, сегіз немесе алты, бес үш, екі.
Келесі тапсырма: Кершілестерін ата. Тәрбиеші бір санды атайды, ал' балалар онымен тетелес сандарды атайды. Мысалы: Алты санының көр-шілестерін ата. Балалар жеті мен бесті атайды. Аталған екі санның ара-сындағы санды тастап кетуді ұсынуга болады. Қөрнекі құралдарды пай-даланып, балалар тетелес сандарды іздеп табуга жаттыға алады (290, 292-беттердегі 8-және 9-суреттерді қараңыз).
Практика көрсеткендей, сандардың арасындары қатынастарды жеткі-лікті түрде жақсы ұғынбаған балалар кебінесе бір — үш сандарын ғана атап, басқаларын атай алмайды. Мұндай қнындықтар балалардың даяр-лығының нашар екенін, езара-кері қатынасты түсінбейтіндігін, ересек балалар тобына арналған программаға қайта оралу қажеттігін көрсетеді.
Сонан соң балаларды бір санға дейінгі, бір саннан кейінгі деген сез-дермен таныстыру керек және дейінгі деген сөз кіші санды, ал кейінгі—-үлкен санды атауды талап ететінін түсіндіру керек.
Мұндай тапсырмаларда санды ауызша атап қана 'қоймай, цифрды кер-сетуге болады. Мысалы, тәрбиеші тастап кеткен цифрды табуды ұсынып,. 6 мен 8 цифрларын қояды немесе жалгыз 7 цифрын қояды да, керші-лестерін табуды ұсынады (2-қосымшадагы 8 және 9-суреттерді қара-ңыз).
Ауызша аталған сан мен көрсетілген цифрдың түрліше қабылданаты-нын ескеру керек: санның көзбен көріп қабылданатын бейнесі мен сөзбен айтылуы бойынша кескінделетін бейнесі әр түрлі қиындық келтіреді. Ауызша тапсырмаға жауап іздеу зейінді баса аударуды, зер салуды және;, білімді жұмылдыруды талап етеді. Алайда екі әдісті де тәрбиеші қолдана алады.
Барлық керсетілген әдістер (жаттығулар) тетелес сандар арасындағы қатынастарды көрнекі материалдарды пайдаланып үйреніп алған жар-дайда ғана пайдалы болады, өйткені олар натурал катары сандарының арасындагы езара-кері қатынастар жөніндегі түсініктерді ашып айқын-дауға бағытталмай бекітуге бағытталган.
Бұл әдістерді балалар қызыга қабылдайды, бірақ олармен гана әуес-тену кейде сандардың реттік магынасы баса көрсетіліп, олар жөнінде бір жақТы түсініктердің қалыптасуына әкеп соғады. Сандарды бір-бірімен са-лыстырғанда балалар бір санның екінші саннан үлкен екенін, ал санның бірліктер саны тетелес санға қарағанда көп екенін көрсетіп немесе олар-дың сәйкестігін заттармен демонстрациялап көрсете білуі маңызды. Сон-дықтан жеті алтыдан көп деген жауаппен қанағаттанбау керек, өйткені: санды атағанда, оның ар жағында кез келген санмен көр-сетілетін жиынның тек солардың орналасуреті ж е-нінде ғана емес, оның қуаттылығы жөнінде балалар-дың дұрыс түсінігі болу'ы маңызды. Міне, сондықтан да оқытудың барлық жылдар бойына балаларда элементтері арасындағы сәйкестікті тарайындау негізінде жиындар арасындағы сандық қатынас-тарды қалыптастыруға ерекше назар аударылатыны осыдан.
Естиярлар тобында-ақ жеке заттарды, дыбыстарды, Топтарды санау қимыл-қозгалыстарды, яғни жекелегендерді ғана емес, сондай-ақ бірнеше заттардан құралатын топтарды да санауға бола-тынын балалар білген болатын. Даярлық топта ересектер тіке жеке заттарды ғана емес, кейде бірден топтарды санайтынын балалардың есіне салуға болады. Мысалы, бес не он жұмыртка, сервиз (шай немесе ас ішетін ыдыс-аяқтар жиынтығы) әр түрлі заттар топтарынан кұралғаны-мен бір жиын ретінде қабылданады. Осы тәжірибеге сүйеніп, балаларға топтарды санауға арналған жаттығулар ұсынуға болады.
Тапсырмалар варианттары топтағы заттар санын арттыру немесе топ-тар санын арттыру бола алады. Мысалы, заттар бес-бестен топталады, ал барлық топ екеу. Тәрбиеші өмірде қандай заттар бес-бестен топталатынын және мұндай топ (бестік) қалай аталатынын балалардың есіне түсіруді ұсынады. Балалар бестік санын санайды. Сонан соң тәрбиеші сұрақ қоя-ды: Топтар санын арттыру үшін не істеу керек?. Тапсырманы орындап болып, балалар түсіндіреді: Жиын бір болғанда топтар саны арту үшін әр топтағы заттардың санын азайту керек. Ең алғаш менде бес-бес зат-тан болған еді, екі топ шықты, ал енді мен әр топта екі-екі заттан қал-дырдым, оның есесіне топтар көбейді — бесеу болды.
Сабақтардың бірінде балшықтан жасалған шариктерді (әлі кеуіп үл-гірмеген) сымға он-оннан түйреп кигізу ұсынылады. Он-оннан тізілген тізбектерді әр түске бояуға болады, ал сымдарды тіркестіріп, он-он ша-риктен тұратын топтардан тізбек құрастыру керек, оны біресе арттырып, біресе кемітіп отыруға болады. Әрқайсысында 10 заттан болатын екі топ-ты алыңдар, тізбекті 10 заттан тұратын бір топка арттырыңдар да, сендер-де неше топ болганын айтыңдар,— дейді педагог. Менде екі топ бар еді, мен тізбекті бір топқа арттырдым, менде әрбіреуі 10 заттан тұратын үш топ болды.
— Он заттан тұратын топ қалай аталатынын естеріңе түсіріндер.— Он. Сендердің моншақтарың неше рет он болды? Үш ондык.—Қай-сысы үлкен: үш ондык па әлде екі ондык па?—Үш ондық екі ондықтан бір ондыққа көп.—Екі жалауша алып, топты бір жалаушаға арттырың-.дар. Сендерде неше жалауша болады?—Үш жалауша болады,— дейді ^еня — тізбектегідей, екі ондықты бір ондықка арттырғанымыздай.
Осылайша топтарды санауга үйрену кезінде балалар 10 көлеміндегі
жеке заттарды санау мен жеке топтарды — он-оннан санау арасындағы
ұқсастыкты тағайындайды. ~^
•^ГА Ересек балалар тобында олар квадратты, тік төртбү-
Нәрсені eKif төрт рышты, дөнгелекті, алманы және басқа заттарды екі
тең оөліктерге және төрт тең бөліктерге бөлген болатын. Олар бөлік-т'ң бүтіннен кіші екенін, беліктер қалай аталатынын біледі (жартысы немесе екіден 6ipj, ширегі немесе төрттен бір бөлігі), затты беліктері (екі жартысы, төрт ширегі) бірдей болатындай етіп дәл бөлу керек. Даярлық топта сол ересектер тобындағы әдістер пайдаланылады. Оларға қосымша бірте-бірте бірнеше әдіс бері-леді. Мысалы, клеткалы қағазға балалар 10 клеткага тең кесінді сызады, •оларға осы кесіндіні қақ белу ұсынылады. Бірақ осыны қалай істеуге болады?—деп сұрайды педагог. Біреулер кесіндіні елшеуішпен елшеп,
өлшенгенді дәл екі бүктеу керек дейді. Екіншілері көзмөлшерімен кесінді ортасын көрсетуге болады деп есептейді (бірақ көзмөлшерінен кателессе, қалай тексеруге болады?). Үшіншілері бір жағынан екінші жағына қарай және екінші жағынан кері қарай тең болатындай санап алу керек дейді. Төртіншілері 5 пен 5 10 болатынын білеміз, ендеше 5 клеткадан санап алу керек те, ортасын белгілеу керек дейді. Тәрбиеші балалардың жауа-бын макұлдап, тәсілдердің бәрі де дұрыс деп құптайды. Осылардың бә-рінен де ыңғайлырағы қайсы? Егер кесінді клеткалы қагазда орналасса, жартысын қалай оңай табуга болады?—Қлеткаларды санап алып, оларды қақ бөлу керек,— деп балалар жауап береді. Ал егер, мысалы, сегіз клетка болса, қалай белесіңдер?—Сызықтың екі шстінен (ұшынан) тең болатьшдай етіп, бір'клеткадан бір-б-ірлеп санап алып отырса: төрт және төрт болады.—Ал баған түрінде орналасқан кесіндіні ссылай белуге бола ма?—деп сұрайды да тәрбиеші, алты клеткадан тұратын, бірақ вертикаль кесінді сызуды ұсьгаады. Балалар сызады да, кесіндінің ұшта-рынан бір-бірлеп клеткалар санап алып, оның ортасын белгілейді. Орта-сынан екі жаққа қарай үш клеткадан.—Бұл клеткаларды қалай атауға болады? Қім ойлап табады?—Шартты белгілеулермен,— дейді балалар.
Осындай жұмыстардың кесінді графаланбаған кагазга сызылған жағ-дайда басқа да варианты мүмкін. Тәрбиеші балалардың • бәріне шама-сы 10 слі-дей шартты өлшеуішті беріп, оның бойымен әр түрлі калыпта кесінділер қатарын сызуды ұсынады: горизонталь вертикаль, көлбеу қа-лыптарда сызып, ал сонан кейін олардың ортасын табады. Мұнда клеткалар жоқ,— дейді балалар. Ал, сендер осы елшеуіштің көмегімен қа-лай қақ бөлу керектігін ойлап керіңдер. Балалар өлшеуішті екі бүктеп өлшейді де, кесіндінің ортасын белгілейді. Жасалған іс-әрекеттерді сез-бен пысықтау үшін тәрбиеші кім не істегеніи айтып беруін ұсынады. Онан' кейін ол осындай тагы екі кесінді сызгызады: біреуін—-вертикаль, екін-шісін — горизонталь қалыпта сызғызып, оларды төрт бөлікке бөлгізеді. Балалар шартты өлшеуішті қақ ортасынан екіге бүктеп қою керектігін өздері ойлап табады. Тәрбисші олардын, сызған кесінділерінін, қандай бө-ліктерге бөлінгенін айтуды ұсынады, бұл бөліктер қалай. аталатынын және олардың әрбір кесіндіде қанша екенін айтып беруін ұсынады.
Біреуі екіге бөлінген, ал екіншісі—төрт белікке белінген, ұзындыгы бірдей жолақтар, оләр өзара салыстырылады да қайсысы үлкен, қайсысы кіші екені түсіндаріледі.
Балалар заттарды тең бөліктерге беліп қана қоймай, бөлік бүтіңнен кіші болатынын, ол бір ғана бүтіннің беліктері, ал бүтін неғұрлым көп бөлікке бөліпсе. соғұрлым кіші болатынын біледі. Ілгеріде мектепте бел-шек санды түсіну үшін көрнекі негіз жасалып, балалар осылайша жаңа функционалдык, байланыстарды түсінеді. Тәрбиеші балалардың білімін практикалық іс-орекеттерде де қатыстырып отырады. Мысалы, аспазшыға винегрет жасауға көмектесе отырып, балалар сәбізді, картопты, пиязды екі бөлікке, төрт бөлікке бедеді т. с. с.
Қейбір қорытындылар жасайық.
Дайындық курсын қоса алғанда, барлык топтарда, тәрбиеші балаларды санау әрекетінс үйретеді: педагог жиын, сан ленінде, натурал катары түріндегі сандар системасы жөнінде, сандар арасындағы өзара-кері қаты-настар жөнінде бастапқы элементар ұгымдарын калыптастырады; балаларды санау снстемасының негіздерін элементар түрде түсінуге, заттар-дык топтарын санауга келтіреді; педагог балаларды бүтін және оның бө-ліктерімен іс жүзіндс таныстырады, яғни келешекте бүтін санды түсінуге' негіз. қалайды.
Нақтылы жиындармен (заттармен, дыбыстармен, қимыл-қозралыстар-мен) әрқашан істес болатын санау іс-әрекетіне балаларды үйрету мектеп-ке дейінгі оқытудың басты міндеті болып табылады. Санау іс-әрекеті не-гізінен мектепте есептеу іс-әрекетін сандармен және математикалық баска категорцялармен байланысты келешекте оқытудың негізі болып табылады. Санау іс-әрекетінің дамуы және оның процесінде кейбір ұғымдардың қалыптасуы балалардың ақыл-ой әрекетін қалыптастырумен, математика-га деген ынтасын оятуда және математикалық білім алуға деген эмоция-лык қатынасының дұрыс болуымен ТЫРЫЗ байланысты. Санау іс-әрекетін оқыту метрдикасының. міндеті балалардың ойын, тапқырлыгын ұштау, зейін қойьіп жұмыс істей білуге үйрету болып табылады.
Жиындармен әр турлі операциялар жасауды және санау іс-әрекетін, сондай-ақ сол кезде қалыптасатын ұгымдарды балалардың игеріп алуы оларды іс-әрекеттің жаңа туріне — есептеу іс-әрекетіне келтіруге мүм-кіндік береді, бұл негізінен мектепте оқытылады. Алайда бұл іс-әрекет элементтерімен балаларды даярлық тобында-ақ таныстырған жөи; бұл болса балалардың мектепте арифметикалық материалды игеруге дайын-дыгын тексеру болып табылады.
Осы екі іс-әрекеттін арасындағы негізгі езгешелік неде?.Санау іс-әре-' кетінде (нәрселер, дыбыстар, қимыл-қозралыстар жиыны болсын) әрқа-шан нақтылы жиындар қатысады. Бұл жиындар элементтерін сипап-ұс-тауга, көруге болады, әр түрлі анализаторлармен қабылданылады. Нақ-тылы санау іс-әрекеті негізінде балаларда дербес (абстрактілі) ұрымдар-дың сан, натурал қатар, сандар арасындағы қатьшастар (сандық және реттік) т. с. с. бүтін бір жүйесі қалыптаса бастайды.
Есептеу іс-әрекеті біршама дербес, өйткені мұнда сандар қатысады, ал сан болса, абстрактілі ұғым. Есептеу іс-әрекеті абстрактілі болып табыла-тын, жиындарға қолданылған тиісті операциялардын, жинақталуы болып табылатын әр түрлі ,арифметикалық амалдарға негізДелген. Есептеу әре^ кетін игеріп алған кезде оқушының ойы нақтылы жиыннан барған сайын көбірек алыстап, абстрактілі ұғымдармен, формулалармен, схемамен т. с. с. операциялар жасауга дейін жетеді.
Санау іс-әрекетд негұрлым жете меңгерілген болса, бірінен екіншісіне осындай ауысу соғұрлым табысты жүзеге асады. Санау процесінде есептеу іс-әрекетіне ауысу онсыз мүмкін болмайтын ұғымдар қалыптасып, жи-нақталып жетілдірілсді.
Міне, сондықтаи да осы ауысудың балалар бақшасында басталуының маңызы бар: ол қорытынды жасауга мүмкіндік береді дерлік — балаларды дайындауда жұмыстың борі аткарылДы ма, мектеп жасына дейінгі дайындық кезінде жіберілген елеулі кемшіліктерді ашуға, оларды жоюға тырысу ререк, ал балаларды мектепке өткізгенде кай баланың біліміндегі ақауларды мұғалімге көрсетіп беру керек, сонда' мұралім де дер кезінде оларға назар аударатын болады.