Сандарды екілік жүйеден сегіздік санау жүйесіне ауыстыру
Кез келген цифрды сегіздік сан түрінде жазу үшін екілік цифрлар қажет. Сондықтан түрленетін екілік санды оңнан солға қарай екі цифрлар тобына үштен бөледі. Мысалы. 011 екілік цифры сегіздік санау жүйесіндегі цифр болып табылады. Содан кейін екілік цифрдың әрбір тобын кестеде көрсетілген цифр түрінде көрсетеді.
Екілік жүйе
Сегіздік жүйе
000
0
001
1
010
2
011
3
100
4
101
5
110
6
111
7
Мысалы, 110111101 екілік саны екілік цифр бойынша үш-үштен топқа бөлінгенде, 1 101 111 011 сияқты жазуға болады және содан кейін әрбір топты сегіздік цифрдың біреуімен жазып болғаннан кейін, 1573 санын аламыз.
Сандарды екілік жүйеден он алтылық санау жүйесіне ауыстыру
Екілік жүйеден он алтылық санау жүйесіне жоғарыдағыға ұқсас түрленеді. Тек ғана айырмашылығы - әрбір түрленетін екілік сан төрт сан бойынша топқа бөлінеді, өйткені он алтылық санның кез - келген цифрын жазу үшін төрт екілік цифр қажет.
Ондық жүйе
Екілік жүйе
Он алтылық жүйе
0
0000
0
1
0001
1
2
0010
2
3
0011
3
4
0100
4
5
0101
5
6
0110
6
7
0111
7
8
1000
8
9
1001
9
10
1010
A
11
1011
B
12
1100
C
13
1101
D
14
1110
E
15
1111
F
Сондықтан, алдыңғы мысалда қолданылған 1101111011 екілік саны төрт екілік цифр бойынша топқа бөлінгеннен кейін, 11 0111 1011 сияқты жазуға болады және әрбір топты он алтылық цифрдың біреуімен жазып болғаннан кейін, 37В он алтылық санды аламыз. Бұл тепе-теңдік жеңіл тексеріледі. Мысалы: 10112=1*23+0*22+1*21+1*20=1110=B16.
Сандарды бір санау жүйесінен басқа санау жүйесіне ауыстыру
Ауыстыру ережесі. Санды екілік санау жүйесінен ондық санау жүйесіне ауыстыру үшін екілік санды коэффициент - сандармен екілік дәреже қосындысы түрінде ұсынып, осы қосындыны табу керек.
Екілік жүйенің елеулі кемшілігі – мұнда санды жазу үшін 0 және 1 цифрлары көп қажет болады. Бұл адамның екілік санды қабылдауын қиындатады. Сондықтан екілік жүйе әдетте компьютердің ішкі қажеттілігі үшін қолданылады, ал адамның компьютермен жұмыс жасауы үшін үлкен негіздеуішті санау жүйесі таңдалады.
Бүтін ондық сандарды екілік санау жүйесіне ауыстыру
Бүтін ондық санды екілікке ауыстырған кезде осы санды 2-ге бөлу қажет. Алынған бөлінді 2-ден кіші болғанша бөліндіні қайтадан 2-ге бөле береді және т.с.с. Нәтижеде бір қатарға соңғы бөлінді және соңғысынан бастап барлық қалдықтарды жазу керек. Мысалы, 891 санын ондық жүйеден екілік санау жүйесіне ауыстыру.
Шешімі:
891:2=445, қалдық 1
445:2=222, қалдық 1
222:2=111, қалдық 0
111:2=55, қалдық 1
55:2=27, қалдық 1
27:2=13, қалдық 1
13:2=6, қалдық 1
6:2=3, қалдық 0
3:2=1, қалдық 1
1:2=0, қалдық 1 (екілік санның үлкен цифры).
Бір қатарға соңына бөліндіні және соңғысынан бастап барлық қалдықтарды жазамыз: Жауап: 89110=11011110112.
Бүтін ондық бөлшектерді екілік санау жүйесіне ауыстыру
Бүтін ондық бөлшектерді екілік санау жүйесіне ауыстыру үшін оны 2-ге көбейту қажет. Көбейтіндінің бүтін бөлігі екілік бөлшектің үтірден кейінгі бірінші цифры ретінде алынады. Екілік бөлшектің келесі цифры ретінде осы көбейтіндіні алады, ал көбейтіндінің бөлшек бөлігін қайтадан 2-ге көбейтеді және т.с.с.
Мысал: 0,625 ондық бөлшегін екілік санау жүйесіне ауыстырамыз.
Екілік бөлшектің үтірден кейінгінің бірінші цифрын табу үшін берілген санды 2-ге көбейтіп және көбейтіндінің бүтін бөлігін ерекшелеу керек.
Шешуі:
0,625*2=1,250, бүтін бөлігі 1-ге тең.
0,250*2=0,500, бүтін бөлігі 0-ге тең.
0,500*2=1,000, бүтін бөлігі 1-ге тең.
Соңғы көбейтіндінің бөлшек бөлігі нөлге тең. Ауыстыру аяқталды. Бір қатарға алынған бүтін бөліктің бірінші цифрынан бастап жазамыз. Жауап: 0,62510=0,1012.
Екіге көбейткенде әрқашан санның тек қана бөлшек бөлігі қатысады. Ақырғы ондық бөлшектің екілік санау жүйесіне ауыстырған кезде периодты бөлшек алынуы мүмкін. Мысалы, 0,3 ондық бөлшегін екілік санау жүйесіне келтіреміз.
Шешуі:
0,3*2=0,6 бүтін бөлігі 0-ге тең
0,6*2=1,2 бүтін бөлігі 1-ге тең;
0,2*2=0,4 бүтін бөлігі 0-ге тең;
0,4*2=0,8 бүтін бөлігі 0-ге тең;
0,8*2=1,6 бүтін бөлігі 1-ге тең;
0,6*2=1,2 бүтін бөлігі 1-ге тең және т.б.
0,6 бөлшек бөлік есептеудің екінші қатарында болған еді. Сондықтан есептеулер қайталана бастайды. Демек, екілік санау жүйесінде 0,3 периодты бөлшек түрінде ұсынылады.
Жауап: 0,310=0,0(1001)2.
Ондық сандарды сегіздік санау жүйесіне ауыстыру
Ондық сандарды сегіздік санау жүйесіне ауыстыру үшін екілік жүйесіне ауыстырған кездегі әдісті қолдануға болады. Өңделетін сан ондық жүйенің ережесі бойынша, әрине, 7-ден аспайтын қалдықтарды сақтай отырып. 8-ге бөлінеді. Егер алынған бөлінді 7-ден көп болса, онда оны да, қалдықты сақтап, 8-ге бөлуге болады. 8-ге бөлу үрдісі бөлінді нөлге тең болғанша жалғаса береді. Содан кейін соңғысынан бастап барлық қалдықтар қатарына жазылып алынады. Бұл сегіздік қорытынды сан болып табылады.
Мысал: ондық жүйедегі 891 санын сегіздік санау жүйесіне келтірейік.
Шешуі:
981:8=111, қалдық 3-ке тең;
111:8=13, қалдық 7-ге тең;
13:8=1, қалдық 5-ке тең;
1:8=0, қалдық 1-ге тең (сегіздік санның үлкен цифры).
Жауап: 89110=15738.
Ондық сандарды он алтылық санау жүйесіне ауыстыру
Ондық сандарды он алтылық санау жүйесіне ауыстыру үшін тек қана санды 8-дің орнына 16-ға бөлу қажет.
Мысалы: 891 санын ондық жүйеден он алтылық санау жүйесіне ауыстыру.
Шешуі:891:16=55, қалдық 11-ге тең, он алтылық жүйеде “11 саны” латынның В әрпімен белгіленеді;
55:16=3, қалдық 7-ге тең;
3:16=0, қалдық 3-ке тең (он алтылық санның үлкен цифры);
Жауап 89110=37В16.
Санды сегіздік және он алтылық санау жүйесінен он алтылық санау жүйесінен екілік санау жүйесіне ауыстыру
Сегіздік немесе он алтылық санды екілік санға түрлендіргенде, бастапқы санның әрбір цифры үштен (сегіздік сан үшін) немесе төрттен (он алтылық сан үшін) тұратын екілік цифр тобына қарапайым ауыстырумен іске асырылады.
Мысалы:
1288=001 010 011
A1716=1010 0001=10100112
Егер ауыстырғаннан кейін екілік санның бүтін бөлігі нөлден тұратын болса, онда олар алынып тасталады, Бөлшек бөліктің соңындағы нөлдермен де тура соны орындайды.
Мысалы:
253,A416=001001010011,101001002=1001010011,1010012
Екілік сандармен орындалатын арифметикалық әрекеттер
Екілік санау жүйесінде арифметикалық әрекеттер ондық жүйедегі ереже бойынша орындалады, тек қана айырмашылығы – санау жүйесінің негіздеушісі екіге тең және тек екі цифр қолданылады.
Қосу. Екілік санды қосу тасымалдау есебімен сәйкес разрядтарды қосуға әкеледі. Екілік санды қосу кезінде мынандай төрт ереже қолданылады:
0+0=0
1+0=1
0+1=1
1+1=10 бірліктерді көрші (үлкен) разрядқа тасымалдау жүреді.
Мысалы, 101+11 (ондық жүйеде 5+3=8) екі екілік санды қосуды орындаймыз.
Жетпейтін нөлдерді қосып, амалды бағанада орындаған жөн.
101
+011 Қосу кезеңін қарастырайық:
1) Кіші разрядта қосу орындалады: 1+1=10. Кіші разрядта қосынды 0 жазылады және бірлік келесі үлкен разрядқа тасымалданады.
2) Келесі сол жақ разрядтың цифрлары және тасымалдың бірлігі қосылады: 0+1+1=10. Бұл разрядта қосынды 0 жазылады және бірлік тағы да келесі үлкен разрядқа тасымалданады.
3) Сол жақ разрядтың үшінші цифрлары 0+1+1=10. Бұл разрядта қосынды 0 жазылады және бірлік тағы да келесі үлкен разрядқа тасымалданады, т.с.с.
4) Нәтижесінде:
101
+011
1000 алынады.
Сонымен, 10002=810
Азайту. Екілік санды азайту кезінде есте ұстау керек:
0-0=0
1-0=1
0-1=1
1-1=0
Мысалы, 1010-101 екілік санның айырмасын табу. Кіші разрядтан бастап азайтуды бағанада орындаймыз:
1010
101 Азайту процесінін кезеңімен қарастырайық:
1) Кіші разряд үшін 0-1 бар. Сондықтан үлкен разрядтан бірлікті аламыз және 10-1=1-ді табамыз.
2) Келесі разрядта 0-0=0 болады.
3) Сол жақтағы разрядта тағы да 0-1 болады. Үлкен разрядтан 1-ді аламыз және 10-1=1-ді табамыз.
4) Келесі разрядта 0 қалады.
5) 1010
-101
101 алынады.
Көбейту. Екілік санды азайту кезінде есте ұстау керек:
0*0=0
1*0=0
0*1=0
1*1=1.
Мысалы: 101*10 екілік санының көбейтіндісін табу. Көбейту процесін кезеңімен қарастырайық:
101
10
101
10
000
+101
1010