Тік бұрышты үшбұрыштар теңдігінің төрт белгісі бар:
1. Егер бір тікбұрышты үшбұрыштың катеттері екінші тік бұрышты үш бұрышың сәйкес катеттеріне тең болса, онда мұндай тік бұрышты үшбұрыштар тең болады.
Катеттердің арасындағы бұрыш белгілі - ол 900-қа тең. Ендеше, бұл белгінің дәлелдеуі үшбұрыштар теңдігінің бірініші белгісінің дәлелдеуімен бірдей. Өздерін дәлелдеп көрулеріне болады.
2.Егер бір тікбұрышты ұшбұрыштың катеті және оған іргелес жатқан сүйір бұрышы екінші бір тікбұрышты үшбұрыштың сәйкес катеті мен оған іргелес жатқан сүйір бұрышына тең болса, мұндай тік бұрышты үшбұрыштар тең болады.
Бұл белгіні үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісіне сүйеніп, өздерің дәлелдеулеріне болады.
3.Егер бір тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен сүйір бұрышы екінші тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен сәйкес сүйір бұрышына тең болады, онда мұндай тік бұрышты үшбұрыштар тең болады.
4. Егер бір тік бұрыштың үшбұрыштың гипотенузосы мен катеті екінші тік бұрышты үшбұрыштың сәйкес катеті мен гипотенузасына тең болса, онда мұндай тікбұрышты үшбұрыштар тең болады.
Тік бұрышты үшбұрыштар теңдігінің үшінші және төртінші белгілерінің дәлелдеулерін келтірейік.
Теорема. Егер тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен сүйір бұрышы екінші тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен сәйкес сүйір бұрышына тең болса, онда мұндай тік бұрышты үшбұрыштар тең болады.
Дәлелдеу. АВС мен А1 В1 С1 тік бұрышты үшбұрыштарының гипотенузалары тең: ВС=В1С1 (90-сурет), сүйір бұрыштары В мен В1 тең. Осы екі тік бұрышты үшбұрыштың тең болатынын дәлелдейік.
Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 180°-қа тең екені белгілі. Тік бұрышты үшбұрыштың бір бұрышы 90° болады. Ендеше, В + С =90°.
Сол сияқты В1 + С1 =900 В = В болғандыктан, бұл теңдіктерден С= С1 болып шығады. В = В1, С = С1. Олай болса, үшбұрыштар теңдігінін екінші белгісі бойынша АВС және А В С үшбұрыштары тең. Теорема дәлелденді.
Теорема. Егер тік бұрышты ұшбұрыштың гипотенузасы мен катеті екінші тікбұъішты үшбұрыштың сәйкес катеті мен гипотенузасына тең болса, онда мундай тік бұрышты үшбұрыштар тең болады.
Дәлелдеу. АВС мен А1 В1 С1 тік бұрышты үшбұрыштарында: С= С1 =90°, АВ=А1 В1 , АС=А1 С1 (91-сурет) болсын. Осы екі үшбұрыштың тең екенін дәлелдейміз. АВС үшбұрышын А1 В1 С1 үшбұрышының үстіне С төбесі С1 төбесімен дәл түсетіндей етіп саламыз. С = С1 болғандықтан, СА катеті С1 А1 сөулесінде, ал СВ катеті С1 В1 сәулесінде жатады. АС=А1 С1 болғандықтан, А нүктесі А1 нүктесіне келіп түседі. В нүктесі В1 нуктесіне емес, В2 нүктесіне түседі деп жориық. А1 В2 кесіндісін жүргіэсек, А1 В1 В2 тең бүйірлі үшбұрышы шығады. Себебі берілген үшбұрыштардың гипотенузалары тең. Тен бүйірлі үшбұрыштардың табанындағы бұрыштар тең болады. Ал А1 В1 В2 үшбұрышының В2 В1 А1 бұрышы доғал. Өйткені осы бұрыш тік бұрышты үшбұрыш А1 В1 С1 -дің А1 В1 С1 бұрышымен бірігіп жазыңқы бұрыш құрайды. Тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрыш доғал болуы мүмкін емес.