Еркінше алынған қайтымды циклды қарастыралық. Циклды бөлшектеу көмегімен, элементарлы Карно циклын шексіз көп санды теңдікті (2.12), түрде жазуға болады:
dq1 T1=dq2 T2
Тұйықталған пішін бойынша, интегралдау кезінде және dq2 теріс таңбаларын есептеп табамыз.
(2.21)
Мұндағы, dqкайт — таңбасы кезіндегісі, қаралып отырған айналмалы процесстегі қайтымды түріне, ерекше көңіл аудаылруы тиіс.
Сонымен, келтірілген жылулықтың интегралды суммасы үшін, қандай болса да, қайтымды циклда нөлге тең. Бул Клаузиус теңдеуі деп аталады. Жылу динамикасында (4.21) формуласын Клаузиус теңдеуі деп, ал (4.23) формуласының оң жақ бөлігінің теңдеуін, Клаузиус интегралы деп атайды.
(4.21) теңдік, қандай да тұйық жол үшін, математикалық қажетті және жеткілікті шарт, ол:
ds=dq T (2.22)
толық дифференциал болады.
1-2 еркінше алынған жол бойындағы интеграл, әруақытта тең:
S2 – S1= (2.23)
Шарт бойынша, жылулықты dq жеткізу процессі қайтымды деп есептеледі. Сонымен, S — функция жағдайы. Оны энтропия деп атайды. (2.22) формуладағы 1 Т үстіңгі көрсеткішінде тұрған, толық емес дифференциал dq үшін интегралдаушы көбейткіш болады.
Еркін қайтымды айналмалы процесс үшін алынған (2.21) формуладан, энтропия S және абсолютты температура Т бар екендігі туралы тікелей қорытынды шығады да, (2.22) теңдеумен анықталады, оны қайтымды процесстер үшін, жылу динамикасының екінші заңының теңдеуі деп атайды.
Қайтымды изотермиялық процесс (Т=соnst) кезіндегісін (2.23) теңдеуден табамыз:
S2-S1=q1-2 T (2.24)
Қайтымды адиабатты процесс кезіндегі, dq=0 болғанда:
ds=0; S2-S1=0; S=const (2.25)
Қайтымды адиабатты процесс, энтропияның өзгеруін болдырмайды. Сондықтан, оны, изоэнтропийлі процесс деп атайды.